5.2 Résolution explicite
135
Elle est de rang maximal 3, et son noyau est engendré par le vecteur (1, 2, 2, −1) t :
cela signifie que MT
2 g
2 /E est sans dimension, et que toutes les autres quantités sans
dimension que l’on peut former avec des puissances fractionnaires de M, T , g, E, sont
des puissances fractionnaires du nombre MT
2 g
2 /E. Ce raisonnement est notamment
à l’origine du modèle de Taylor–Sedov (voir [30, p. 192]), décrivant l’évolution en
fonction du temps du rayon d’une onde de choc produite par une forte explosion
(atomique par exemple).
Dans le cas du circuit RLC du paragraphe 5.1.2, avec des unités de temps (s),
d’intensité électrique (A), de tension électrique (V) et comme quantités physiques
un temps T , une intensité I , une tension U , une capacité C et une inductance L,
on retrouve par l’analyse dimensionnelle les nombres sans dimension (T U)/(L I )
et (I T )/(CU ), correspondant aux éléments (1, −1, 1, −1, 0) t et (1, 1, −1, 0, −1) t du
noyau de
A =
⎛
⎝
1 0 0 1
1
0 1 0 −1 1
0 0 1 1 −1
⎞
⎠ .
L’analyse dimensionnelle permet également de montrer que les caractéristiques du
mouvement d’un pendule simple ne dépendent pas de sa masse (comme le confirme
l’équation (5.5), où n’intervient pas la masse m).
5.2 RÉSOLUTION EXPLICITE
Il n’y a pas de méthode générale pour calculer les solutions de (5.1). On ne sait
résoudre explicitement que des types bien particuliers d’équations différentielles, dont
nous traitons ci-après les cas les plus fondamentaux (et en particulier ceux utiles au
développement de la théorie). Pour les cas plus sophistiqués on renvoie par exemple
à [8, ch. 4], ou [6] (référence récente concernant aussi les équations aux dérivées
partielles).
5.2.1 Équations linéaires scalaires d’ordre 1
Étant données deux fonctions a et b ∈ C(I ; R), l’équation u
= a(t)u + b(t) admet
pour solutions les fonctions de la forme
u(t) = u 0 e
t
t 0
a(t) dt +
t
t 0
e
t
s
a(t) dt b(s) ds ,
avec t 0 ∈ I , u 0 ∈ R. Pour trouver cette formule il suffit d’observer que pour toute
solution de u de u
= a(t)u + b(t) sur un intervalle J ⊂ I contenant t 0 ,
(u
(t) − a(t)u(t)) e
t
t 0
a(t) dt =
d
dt
u(t) e
t
t 0
a(t) dt
,
et d’intégrer « à vue ».
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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Elle est de rang maximal 3, et son noyau est engendré par le vecteur (1, 2, 2, −1) t :
cela signifie que MT
2 g
2 /E est sans dimension, et que toutes les autres quantités sans
dimension que l’on peut former avec des puissances fractionnaires de M, T , g, E, sont
des puissances fractionnaires du nombre MT
2 g
2 /E. Ce raisonnement est notamment
à l’origine du modèle de Taylor–Sedov (voir [30, p. 192]), décrivant l’évolution en
fonction du temps du rayon d’une onde de choc produite par une forte explosion
(atomique par exemple).
Dans le cas du circuit RLC du paragraphe 5.1.2, avec des unités de temps (s),
d’intensité électrique (A), de tension électrique (V) et comme quantités physiques
un temps T , une intensité I , une tension U , une capacité C et une inductance L,
on retrouve par l’analyse dimensionnelle les nombres sans dimension (T U)/(L I )
et (I T )/(CU ), correspondant aux éléments (1, −1, 1, −1, 0) t et (1, 1, −1, 0, −1) t du
noyau de
A =
⎛
⎝
1 0 0 1
1
0 1 0 −1 1
0 0 1 1 −1
⎞
⎠ .
L’analyse dimensionnelle permet également de montrer que les caractéristiques du
mouvement d’un pendule simple ne dépendent pas de sa masse (comme le confirme
l’équation (5.5), où n’intervient pas la masse m).
5.2 RÉSOLUTION EXPLICITE
Il n’y a pas de méthode générale pour calculer les solutions de (5.1). On ne sait
résoudre explicitement que des types bien particuliers d’équations différentielles, dont
nous traitons ci-après les cas les plus fondamentaux (et en particulier ceux utiles au
développement de la théorie). Pour les cas plus sophistiqués on renvoie par exemple
à [8, ch. 4], ou [6] (référence récente concernant aussi les équations aux dérivées
partielles).
5.2.1 Équations linéaires scalaires d’ordre 1
Étant données deux fonctions a et b ∈ C(I ; R), l’équation u
= a(t)u + b(t) admet
pour solutions les fonctions de la forme
u(t) = u 0 e
t
t 0
a(t) dt +
t
t 0
e
t
s
a(t) dt b(s) ds ,
avec t 0 ∈ I , u 0 ∈ R. Pour trouver cette formule il suffit d’observer que pour toute
solution de u de u
= a(t)u + b(t) sur un intervalle J ⊂ I contenant t 0 ,
(u
(t) − a(t)u(t)) e
t
t 0
a(t) dt =
d
dt
u(t) e
t
t 0
a(t) dt
,
et d’intégrer « à vue ».
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit