134
5 • Introduction et outils de base
(Dans l’exemple ci-dessus, P contient entre autres les unités de vitesse m · s
−1 , d’accélération m · s
−2 et d’énergie kg · m
2
· s
−2 .) On peut munir l’ensemble P d’une structure
de Q-espace vectoriel en demandant que l’application
Q :
Q
k
→
P
(q 1 , . . . , q k ) → m
q 1
1 · · · m
q k
k
soit un morphisme. Autrement dit l’« addition » (+) de deux unités de mesure s’obtient en additionnant les puissances (c’est-à-dire (m
q 1
1 · · · m
q k
k ) + (m
r 1
1 · · · m
r k
k ) :=
m
q 1 +r 1
1
· · · m
q k +r k
k
) et la « multiplication » (×) par l ∈ Q d’une unité de mesure s’obtient en l’élevant à la puissance l (c’est-à-dire l × (m
q 1
1 · · · m
q k
k ) = (m
lq 1
1 · · · m
lq k
k )).
Les unités de mesure m 1 , . . . , m k sont dites indépendantes si elles le sont au sens
algébrique dans l’espace vectoriel P (où le neutre pour l’addition est 1 := m
0
1 · · · m
0
k ),
c’est-à-dire si le seul k-uplet (l 1 , . . . , l k ) ∈ Q
k tel que
l 1 × m 1 + · · · + l k × m k = 1
est (l 1 , . . . , l k ) = (0, . . . , 0). Comme par définition de + et × on a
l 1 × m 1 + · · · + l k × m k = m
l 1
1 · · · m
l k
k ,
on voit que les unités m 1 , . . . , m k sont indépendantes si elles ne permettent pas de
former une quantité sans dimension de façon non triviale (c’est bien le cas par exemple
pour les unités de masse, de longueur et de temps), ou autrement dit si P est isomorphe
à Q
k par Q.
La base de l’analyse dimensionnelle est de déterminer, pour un ensemble de quantités physiques données, disons p 1 , . . . , p n , s’exprimant dans les unités de mesure de
P, combien on peut former de quantités sans dimension avec des puissances fractionnaires de p 1 , . . . , p n . Le calcul repose sur le théorème du rang en algèbre linéaire.
En effet, on peut associer à p 1 , . . . , p n une matrice A ∈ M k,n (Q), de coefficients
q i, j définis (de façon unique) par p j = m
q 1, j
1 · · · m
q k, j
k . On observe que, pour tout
r = (r 1 , . . . , r n )
t
∈ Q
n , la quantité p
r 1
1 · · · p
r n
n s’exprime dans l’unité de mesure Q(Ar ).
Par suite le nombre de quantités sans dimension que l’on cherche coïncide avec la
dimension du noyau de A, qui est égale à n − rang(A) d’après le théorème du rang.
Ce résultat fait partie de ce que l’on appelle le théorème p, pour lequel on renvoie par
exemple à [20, p. 5] (ou [23, p. 215]).
➤ Exemples
Reprenons comme ci-dessus m 1 = kg, m 2 = s, m 3 = m, et comme quantités physiques une masse ( p 1 = M), un temps ( p 2 = T ), une accélération ( p 3 = g) et une
énergie ( p 4 = E). La matrice correspondante est
A =
⎛
⎝
1 0 0
1
0 1 −2 −2
0 0 1
2
⎞
⎠ .
5 • Introduction et outils de base
(Dans l’exemple ci-dessus, P contient entre autres les unités de vitesse m · s
−1 , d’accélération m · s
−2 et d’énergie kg · m
2
· s
−2 .) On peut munir l’ensemble P d’une structure
de Q-espace vectoriel en demandant que l’application
Q :
Q
k
→
P
(q 1 , . . . , q k ) → m
q 1
1 · · · m
q k
k
soit un morphisme. Autrement dit l’« addition » (+) de deux unités de mesure s’obtient en additionnant les puissances (c’est-à-dire (m
q 1
1 · · · m
q k
k ) + (m
r 1
1 · · · m
r k
k ) :=
m
q 1 +r 1
1
· · · m
q k +r k
k
) et la « multiplication » (×) par l ∈ Q d’une unité de mesure s’obtient en l’élevant à la puissance l (c’est-à-dire l × (m
q 1
1 · · · m
q k
k ) = (m
lq 1
1 · · · m
lq k
k )).
Les unités de mesure m 1 , . . . , m k sont dites indépendantes si elles le sont au sens
algébrique dans l’espace vectoriel P (où le neutre pour l’addition est 1 := m
0
1 · · · m
0
k ),
c’est-à-dire si le seul k-uplet (l 1 , . . . , l k ) ∈ Q
k tel que
l 1 × m 1 + · · · + l k × m k = 1
est (l 1 , . . . , l k ) = (0, . . . , 0). Comme par définition de + et × on a
l 1 × m 1 + · · · + l k × m k = m
l 1
1 · · · m
l k
k ,
on voit que les unités m 1 , . . . , m k sont indépendantes si elles ne permettent pas de
former une quantité sans dimension de façon non triviale (c’est bien le cas par exemple
pour les unités de masse, de longueur et de temps), ou autrement dit si P est isomorphe
à Q
k par Q.
La base de l’analyse dimensionnelle est de déterminer, pour un ensemble de quantités physiques données, disons p 1 , . . . , p n , s’exprimant dans les unités de mesure de
P, combien on peut former de quantités sans dimension avec des puissances fractionnaires de p 1 , . . . , p n . Le calcul repose sur le théorème du rang en algèbre linéaire.
En effet, on peut associer à p 1 , . . . , p n une matrice A ∈ M k,n (Q), de coefficients
q i, j définis (de façon unique) par p j = m
q 1, j
1 · · · m
q k, j
k . On observe que, pour tout
r = (r 1 , . . . , r n )
t
∈ Q
n , la quantité p
r 1
1 · · · p
r n
n s’exprime dans l’unité de mesure Q(Ar ).
Par suite le nombre de quantités sans dimension que l’on cherche coïncide avec la
dimension du noyau de A, qui est égale à n − rang(A) d’après le théorème du rang.
Ce résultat fait partie de ce que l’on appelle le théorème p, pour lequel on renvoie par
exemple à [20, p. 5] (ou [23, p. 215]).
➤ Exemples
Reprenons comme ci-dessus m 1 = kg, m 2 = s, m 3 = m, et comme quantités physiques une masse ( p 1 = M), un temps ( p 2 = T ), une accélération ( p 3 = g) et une
énergie ( p 4 = E). La matrice correspondante est
A =
⎛
⎝
1 0 0
1
0 1 −2 −2
0 0 1
2
⎞
⎠ .