5.1 Modélisation et applications
133
(décrivant l’évolution de la température u dans une barre monodimensionnelle, le
paramètre k > 0 étant déterminé par la conductivité thermique, la chaleur massique
et la densité du matériau). Une façon simple d’approcher les solutions de (5.7) est de
chercher u( jDx, t) u j (t) (où Dx est un pas de discrétisation et j ∈ Z) avec
du j
dt
=
k
Dx 2
u j+1 − 2 u j + u j−1
.
(5.8)
On a approché ici la dérivée seconde ∂
2
xx u par un « développement de Taylor ». Plus
précisément, et c’est la base de ce que l’on appelle les schémas aux différences finies
(voir l’exercice 2.1), si u est deux fois différentiable par rapport à x, on a par la formule
de Taylor–Young,
∂
2
xx u( jDx, t) =
1
Dx 2 (u(( j + 1)Dx, t) − 2u( jDx, t) + u(( j − 1)Dx, t)) + o(1) .
Le système infini d’équations (5.8) pour j ∈ Z revient à une équation différentielle
ordinaire dans l’espace de suites
p (Z; R) (qui est un espace de Banach quel que soit
p ∈ [1, . . . , +∞]).
Enfin, certaines équations aux dérivées partielles d’évolution peuvent être vues
commes des EDO dans des espaces de fonctions appropriés. C’est le cas par exemple
pour
∂
2
tt u − c
2 Du = gD∂
2
tt u ,
avec g > 0 (cette équation apparaissant dans divers domaines, voir [30, p. 366]), car
elle équivaut à ∂
2
tt u = P g u , où P g est un opérateur linéaire continu sur l’espace de
Hilbert L
2 (R
d ). Cela se voit par transformation de Fourier [25, ch. 9], qui est une
isométrie de L
2 (R
d ). Mais attention, la norme de P g « explose » (comme 1/g) lorsque
g tend vers 0, et l’équation obtenue à la limite
∂
2
tt u − c
2 Du = 0 ,
appelée équation des ondes, est d’une nature différente.
5.1.6 Rudiments d’analyse dimensionnelle
Supposons que l’on dispose pour décrire un système physique de k unités de mesure
« indépendantes » (en un sens que l’on précisera plus loin). Pour fixer les idées on
notera m 1 , . . . , m k ces unités. (On peut prendre par exemple m 1 = kg, une unité de
masse, m 2 = s, une unité de temps, m 3 = m, une unité de longueur.) On considère
l’ensemble de toutes les unités de mesure que l’on peut fabriquer comme produits de
puissances fractionnaires de ces unités fondamentales :
P := {m
q 1
1 · · · m
q k
k ; (q 1 , . . . , q k ) ∈ Q
k
} .
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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(décrivant l’évolution de la température u dans une barre monodimensionnelle, le
paramètre k > 0 étant déterminé par la conductivité thermique, la chaleur massique
et la densité du matériau). Une façon simple d’approcher les solutions de (5.7) est de
chercher u( jDx, t) u j (t) (où Dx est un pas de discrétisation et j ∈ Z) avec
du j
dt
=
k
Dx 2
u j+1 − 2 u j + u j−1
.
(5.8)
On a approché ici la dérivée seconde ∂
2
xx u par un « développement de Taylor ». Plus
précisément, et c’est la base de ce que l’on appelle les schémas aux différences finies
(voir l’exercice 2.1), si u est deux fois différentiable par rapport à x, on a par la formule
de Taylor–Young,
∂
2
xx u( jDx, t) =
1
Dx 2 (u(( j + 1)Dx, t) − 2u( jDx, t) + u(( j − 1)Dx, t)) + o(1) .
Le système infini d’équations (5.8) pour j ∈ Z revient à une équation différentielle
ordinaire dans l’espace de suites
p (Z; R) (qui est un espace de Banach quel que soit
p ∈ [1, . . . , +∞]).
Enfin, certaines équations aux dérivées partielles d’évolution peuvent être vues
commes des EDO dans des espaces de fonctions appropriés. C’est le cas par exemple
pour
∂
2
tt u − c
2 Du = gD∂
2
tt u ,
avec g > 0 (cette équation apparaissant dans divers domaines, voir [30, p. 366]), car
elle équivaut à ∂
2
tt u = P g u , où P g est un opérateur linéaire continu sur l’espace de
Hilbert L
2 (R
d ). Cela se voit par transformation de Fourier [25, ch. 9], qui est une
isométrie de L
2 (R
d ). Mais attention, la norme de P g « explose » (comme 1/g) lorsque
g tend vers 0, et l’équation obtenue à la limite
∂
2
tt u − c
2 Du = 0 ,
appelée équation des ondes, est d’une nature différente.
5.1.6 Rudiments d’analyse dimensionnelle
Supposons que l’on dispose pour décrire un système physique de k unités de mesure
« indépendantes » (en un sens que l’on précisera plus loin). Pour fixer les idées on
notera m 1 , . . . , m k ces unités. (On peut prendre par exemple m 1 = kg, une unité de
masse, m 2 = s, une unité de temps, m 3 = m, une unité de longueur.) On considère
l’ensemble de toutes les unités de mesure que l’on peut fabriquer comme produits de
puissances fractionnaires de ces unités fondamentales :
P := {m
q 1
1 · · · m
q k
k ; (q 1 , . . . , q k ) ∈ Q
k
} .
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit