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5 • Introduction et outils de base
5.1.4 Écologie
Divers modèles classiques d’évolution d’espèces en compétition s’expriment au moyen
d’équations différentielles. C’est le cas des modèles de type prédateurs-proies de
Lotka–Volterra. Si une population de proies de concentration N cohabite avec une
population de prédateurs de concentration P, un modèle simplifié de leur évolution
s’écrit :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
dN
dt
= N (a − b P) ,
dP
dt
= P (c N − d ) ,
où a est le taux de natalité des proies, d le taux de mortalité des prédateurs, tandis que
b et c sont des constantes empiriques, supposées positives, représentant l’interaction
entre les proies et les prédateurs. On peut également considérer des modèles nonlinéaires :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
dN
dt
= N F(N , P) ,
dP
dt
= P G(N , P) .
Pour plus de détails on renvoie au livre de Murray [22].
5.1.5 En dimension infinie
Parmi les exemples d’équations différentielles en dimension infinie on compte ce que
l’on appelle les systèmes dynamiques sur réseau (plus connus sous le nom anglais
Lattice Dynamical Systems, LDS en abrégé), dont les inconnues prennent typiquement
leurs valeurs dans un espace
p (Z
m ; R
d ). L’un des LDS célèbres est le modèle de
Fermi–Pasta–Ulam en physique de la matière, qui couple des équations du type (5.2)
pour un nombre infini de masses m j ( j ∈ Z). Il s’écrit
m j
d
2 x j
dt 2 = V
(x j+1 − x j ) − V
(x j − x j−1 ) ,
(5.6)
où V est un potentiel d’interaction donné. On peut en effet voir le système infini
d’équations (5.6) pour j ∈ Z comme une équation différentielle ordinaire dans l’espace E =
∞ (Z; R) des « suites » (indexées par Z) bornées. Par ailleurs, on obtient
des LDS par discrétisation en espace d’équations aux dérivées partielles d’évolution.
Prenons par exemple l’équation de la chaleur
∂ t u = k ∂
2
xx u
(5.7)
5 • Introduction et outils de base
5.1.4 Écologie
Divers modèles classiques d’évolution d’espèces en compétition s’expriment au moyen
d’équations différentielles. C’est le cas des modèles de type prédateurs-proies de
Lotka–Volterra. Si une population de proies de concentration N cohabite avec une
population de prédateurs de concentration P, un modèle simplifié de leur évolution
s’écrit :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
dN
dt
= N (a − b P) ,
dP
dt
= P (c N − d ) ,
où a est le taux de natalité des proies, d le taux de mortalité des prédateurs, tandis que
b et c sont des constantes empiriques, supposées positives, représentant l’interaction
entre les proies et les prédateurs. On peut également considérer des modèles nonlinéaires :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
dN
dt
= N F(N , P) ,
dP
dt
= P G(N , P) .
Pour plus de détails on renvoie au livre de Murray [22].
5.1.5 En dimension infinie
Parmi les exemples d’équations différentielles en dimension infinie on compte ce que
l’on appelle les systèmes dynamiques sur réseau (plus connus sous le nom anglais
Lattice Dynamical Systems, LDS en abrégé), dont les inconnues prennent typiquement
leurs valeurs dans un espace
p (Z
m ; R
d ). L’un des LDS célèbres est le modèle de
Fermi–Pasta–Ulam en physique de la matière, qui couple des équations du type (5.2)
pour un nombre infini de masses m j ( j ∈ Z). Il s’écrit
m j
d
2 x j
dt 2 = V
(x j+1 − x j ) − V
(x j − x j−1 ) ,
(5.6)
où V est un potentiel d’interaction donné. On peut en effet voir le système infini
d’équations (5.6) pour j ∈ Z comme une équation différentielle ordinaire dans l’espace E =
∞ (Z; R) des « suites » (indexées par Z) bornées. Par ailleurs, on obtient
des LDS par discrétisation en espace d’équations aux dérivées partielles d’évolution.
Prenons par exemple l’équation de la chaleur
∂ t u = k ∂
2
xx u
(5.7)