5.1 Modélisation et applications
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de nouveaux paramètres, sans dimension également, dont on peut déterminer le
nombre par l’analyse dimensionnelle (voir le paragraphe 5.1.6).
Pour le système ci-dessus, on considère une intensité de référence I , un potentiel
de référence U et un temps de référence T , et l’on pose
x :=
x
I
, y :=
y
U
, t :=
t
T
,
F( x) :=
F(x)
U
.
On voit alors qu’une fonction t → (x(t), y(t)) est solution du système de départ
si et seulement si la fonction t → ( x( t), y( t)) est solution de
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
d x
d t
=
T U
L I
y −
F( x)
,
d y
d t
= −
I T
CU
x ,
où il y a effectivement deux paramètres sans dimension, à savoir (T U)/(L I )
et (I T )/(CU ). (Notons qu’ils valent tous deux 1 si l’on choisit en particulier
T =
√
LC et U /I =
L/C.)
5.1.3 Chimie
L’évolution d’une réaction chimique simple
A + B → C ,
dont les réactants A et B et le produit C ont pour concentration a, b et c respectivement
peut également être modélisée par une équation différentielle, en égalant le taux de
consommation :
−
da
dt
= −
db
dt
=
dc
dt
avec le taux de réaction, supposé de la forme
K a
a b
b c
g ,
où K , a, b, g sont des constantes empiriques. Le même raisonnement s’applique
à des réactions plus complexes. En particulier, l’évolution de la réaction dite de
Belousov–Zhabotinskii est régie par le modèle de Field–Noyes, qui s’écrit sous forme
adimensionnée :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
´
dx
dt
= q y − x y + x(1 − x) ,
d
dy
dt
= − q y − x y + 2 r z
dz
dt
= x − z ,
où ´, d, q et r sont des paramètres sans dimension.
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