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5 • Introduction et outils de base
Exercice 5.7 Soient f ∈ C
1 (R; R
+ ) et x 0 ∈ R.
i). En supposant que f ne s’annule pas et que
∞
−∞
ds
f (s)
< +∞ ,
montrer que la solution maximale du problème de Cauchy pour l’équation différentielle x
= f (x) et la donnée x(t 0 ) = x 0 ∈ R est définie sur ]t 0 − T ∗ , t 0 + T
∗ [,
où
T ∗ = t 0 −
x 0
−∞
ds
f (s)
, T
∗ = t 0 +
+∞
x 0
ds
f (s)
.
ii). En supposant que f s’annule en un unique point j 0 (et, rappelons-le, f est à
valeurs dans R
+ ), montrer que l’intervalle de définition de la solution maximale
de x
= f (x) pour la donnée x(t 0 ) = x 0 n’est pas majoré si x 0 < j 0 , et n’est
pas minoré si x 0 > j 0 .
Exercice 5.8 Soit f ∈ C(R × R
n ; R
n ). On note · · la norme euclidienne usuelle
dans R
n . On suppose qu’il existe F ∈ C(R
+ ; R
+∗ ) telle que pour tout a ∈ R
+ ,
∞
a
ds
F(s)
= +∞ ,
et f (t, x) ≤ F(x) quel que soit (t, x) ∈ R × R
n .
i). Soit u ∈ C(J ; R
n ) une solution maximale de l’équation différentielle u
=
f (t, u). Soit r : t → r (t) := u(t). Montrer que r
(t) ≤ F(r (t)) pour tout
t ∈ J où r (t) = 0.
ii). En déduire que u est globale, c’est-à-dire que J = R.