Introduction
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• Si E 1 , . . . , E n sont des espaces de Banach, le produit cartésien E = E 1 ×· · ·×E n
peut être muni de l’une quelconque des normes, équivalentes entre elles,
(x 1 , . . . , x n ) k,E = (x 1 E 1 , . . . , x n E n ) k .
• Des exemples classiques d’espaces de Banach de dimension infinie sont les
espaces de suites
p (N) := {u = (u n ) n∈N ;
n
|u n |
p < +∞} ,
munis des normes définies par
u p =
n
|u n |
p
1/ p
,
pour p < +∞, et
∞ (N) := {u = (u n ) n∈N ; u ∞ := sup
n
|u n | < +∞} ,
ainsi que divers espaces de fonctions, comme l’espace C(K ; E) des fonctions
continues sur un compact K et à valeurs dans un espace de Banach E, muni de
la « norme sup », définie par
f = max
x∈K
f (x) E .
Moyennant l’identification des fonctions coïncidant presque partout, les espaces
de Lebesgue (voir par exemple [25, chap. 3])
L
p (V) =
f : V → R mesurable ;
V
| f (x)|
p dx < +∞
,
L
∞ (V) = { f : V → R mesurable essentiellement bornée} ,
où V est un ouvert de R
n , munis des normes
f p :=
V
| f (x)|
p dx
1/ p
, f ∞ := sup
x∈V
ess| f (x)| ,
sont également des espaces de Banach de dimension infinie. Plus généralement,
il est possible definir des espaces L
p (V; E) pour des fonctions à valeurs dans un
espace de Banach E (par exemple un autre espace L
p ) : cependant cela soulève
des questions délicates de mesurabilité (on renvoie à [10] pour de plus amples
détails).
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