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Introduction
est linéaire. Si de plus f est continue, toutes les applications partielles sont
continues et il existe C ∈ R
+∗ tel que
f(h 1 , . . . , h n ) F ≤ C
n
j=1
h j E j
quels que soient les vecteurs h j ∈ E j . L’ensemble des applications n-linéaires
continues forme un espace vectoriel que l’on notera L(E 1 , . . . , E n ; F) (à ne pas
confondre avec l’espace L(E 1 × · · · × E n ; F) des applications linéaires sur E).
Muni de la norme définie par
f L(E 1 ,...,E n ;F) = max{ {f(h 1 , . . . , h n ) F ; h j E j ≤ 1 } ,
l’espace L(E 1 , · · · , E n ; F) est complet. Lorsque E 1 = · · · = E n = G, on notera
simplement L n (G; F) l’espace des applications n-linéaires continues sur G
n , et
L
s
n (G; F) le sous-espace des applications n-linéaires symétriques, c’est-à-dire
invariantes par permutation des vecteurs x 1 , . . . , x n composant les vecteurs de
G
n .
• Dans les espaces vectoriels normés de dimension finie, toutes les normes sont
équivalentes, et tous ces espaces sont complets (indépendamment de la norme
choisie). C’est le cas en particulier de R
n , pour lequel des normes classiques sont
x k =
⎛
⎝
n
j=1
|x j |
k
⎞
⎠
1/k
si k < ∞ et x ∞ = sup
1≤ j≤n
|x j | ,
où x 1 , . . . , x n désignent les composantes de x ∈ R
n . De même, l’espace des
matrices M p,q (R) à p lignes et q colonnes, est complet quelle que soit la norme
choisie. On peut notamment considérer les normes subordonnées aux normes
· · k dans R
q et R
p , définies par
M k =
sup
x∈R q ,x = 0
M x k
x k
.
Si M a pour coefficients m i, j on a (voir par exemple [27, p. 43])
M 1 = max
j
i
|m i, j | ,
M ∞ = max
i
j
|m i, j | ,
M 2 =
(M t M) ,
où (M t M) désigne le rayon spectral, c’est-à-dire la plus grande valeur propre
(en valeur absolue) de la matrice symétrique positive M t M, la matrice M t étant
par définition la transposée de M, de coefficients (m j,i ) j≤q,i≤ p .
Introduction
est linéaire. Si de plus f est continue, toutes les applications partielles sont
continues et il existe C ∈ R
+∗ tel que
f(h 1 , . . . , h n ) F ≤ C
n
j=1
h j E j
quels que soient les vecteurs h j ∈ E j . L’ensemble des applications n-linéaires
continues forme un espace vectoriel que l’on notera L(E 1 , . . . , E n ; F) (à ne pas
confondre avec l’espace L(E 1 × · · · × E n ; F) des applications linéaires sur E).
Muni de la norme définie par
f L(E 1 ,...,E n ;F) = max{ {f(h 1 , . . . , h n ) F ; h j E j ≤ 1 } ,
l’espace L(E 1 , · · · , E n ; F) est complet. Lorsque E 1 = · · · = E n = G, on notera
simplement L n (G; F) l’espace des applications n-linéaires continues sur G
n , et
L
s
n (G; F) le sous-espace des applications n-linéaires symétriques, c’est-à-dire
invariantes par permutation des vecteurs x 1 , . . . , x n composant les vecteurs de
G
n .
• Dans les espaces vectoriels normés de dimension finie, toutes les normes sont
équivalentes, et tous ces espaces sont complets (indépendamment de la norme
choisie). C’est le cas en particulier de R
n , pour lequel des normes classiques sont
x k =
⎛
⎝
n
j=1
|x j |
k
⎞
⎠
1/k
si k < ∞ et x ∞ = sup
1≤ j≤n
|x j | ,
où x 1 , . . . , x n désignent les composantes de x ∈ R
n . De même, l’espace des
matrices M p,q (R) à p lignes et q colonnes, est complet quelle que soit la norme
choisie. On peut notamment considérer les normes subordonnées aux normes
· · k dans R
q et R
p , définies par
M k =
sup
x∈R q ,x = 0
M x k
x k
.
Si M a pour coefficients m i, j on a (voir par exemple [27, p. 43])
M 1 = max
j
i
|m i, j | ,
M ∞ = max
i
j
|m i, j | ,
M 2 =
(M t M) ,
où (M t M) désigne le rayon spectral, c’est-à-dire la plus grande valeur propre
(en valeur absolue) de la matrice symétrique positive M t M, la matrice M t étant
par définition la transposée de M, de coefficients (m j,i ) j≤q,i≤ p .