Introduction
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seul vecteur x tel que x E = 0 est x = 0 E ; 3) et l’on a l’inégalité triangulaire :
x + y ≤ ≤x + y , quels que soient x , y ∈ E .
Un ouvert dans un espace vectoriel normé E est un sous-ensemble U tel que
pour tout x ∈ U il existe une boule ouverte de centre x et de rayon R, que l’on
notera B(x; R), incluse dans U . Un fermé est un sous-ensemble de E dont le
complémentaire est ouvert. Un compact est un sous-ensemble de E dans lequel
toute suite admet une sous-suite convergente (une sous-suite d’une suite (x n ) n∈N
étant une suite de la forme (x w(n) ) n∈N avec w : N → N strictement croissante).
• Un R-espace de Banach est un R-espace vectoriel normé complet, c’est-à-dire
où toutes les suites de Cauchy sont convergentes (une suite (x n ) n∈N étant dite de
Cauchy si pour tout ´ > 0 il existe N ∈ N tel que pour n, p ≥ N , x n −x p ≤ ´).
• Si E et F sont des espaces de Banach, l’espace vectoriel des applications linéaires
continues de E dans F, muni de la norme
= sup
x∈E\{0}
(x) F
x E
est un espace de Banach. Il sera noté L(E; F), ou simplement L(E) dans le cas
E = F. En outre, le sous-ensemble des isomorphismes de E sur F :
Isom(E ;F) := { u ∈ L(E; F) ; ∃v ∈ L(F; E) , v ◦ u = Id E et u ◦ v = Id F }
est un ouvert de L(E; F). En vertu du théorème d’analyse fonctionnelle suivant,
Isom(E ;F) coïncide avec l’ensemble des isomorphismes au sens algébrique.
Théorème 0.1 (Banach) Si E et F sont des espaces de Banach, la réciproque
d’une application linéaire continue et bijective de E sur F, est continue.
(Voir [2, Cor. II.6 p. 19].) Autrement dit, pour vérifier qu’une application u est
un isomorphisme de E sur F, il « suffit » de vérifier que u est linéaire continue
et bijective. En dimension finie, toutes les applications linéaires sont continues :
ce théorème n’a donc d’intérêt qu’en dimension infinie.
• Si E 1 , . . . , E n sont des espaces de Banach, le produit cartésien E = E 1 ×· · ·×E n ,
muni de
(x 1 , . . . , x n ) E = x 1 E 1 + · · · + x n E n ,
est aussi un espace de Banach. Une application f : E → F est n-linéaire (et
lorsqu’on ne veut pas préciser n on dit multi-linéaire) si pour tout j ∈ {1, . . . , n}
et pour tout (x 1 , . . . , x j−1 , x j+1 , . . . , x n ) ∈ E 1 × · · · E j−1 × E j+1 · · · × E n (avec
les conventions naturelles lorsque j = 1 ou j = n), l’application partielle
x ∈ E j → f(x 1 , . . . , x j−1 , x, x j+1 , . . . , x n )
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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seul vecteur x tel que x E = 0 est x = 0 E ; 3) et l’on a l’inégalité triangulaire :
x + y ≤ ≤x + y , quels que soient x , y ∈ E .
Un ouvert dans un espace vectoriel normé E est un sous-ensemble U tel que
pour tout x ∈ U il existe une boule ouverte de centre x et de rayon R, que l’on
notera B(x; R), incluse dans U . Un fermé est un sous-ensemble de E dont le
complémentaire est ouvert. Un compact est un sous-ensemble de E dans lequel
toute suite admet une sous-suite convergente (une sous-suite d’une suite (x n ) n∈N
étant une suite de la forme (x w(n) ) n∈N avec w : N → N strictement croissante).
• Un R-espace de Banach est un R-espace vectoriel normé complet, c’est-à-dire
où toutes les suites de Cauchy sont convergentes (une suite (x n ) n∈N étant dite de
Cauchy si pour tout ´ > 0 il existe N ∈ N tel que pour n, p ≥ N , x n −x p ≤ ´).
• Si E et F sont des espaces de Banach, l’espace vectoriel des applications linéaires
continues de E dans F, muni de la norme
= sup
x∈E\{0}
(x) F
x E
est un espace de Banach. Il sera noté L(E; F), ou simplement L(E) dans le cas
E = F. En outre, le sous-ensemble des isomorphismes de E sur F :
Isom(E ;F) := { u ∈ L(E; F) ; ∃v ∈ L(F; E) , v ◦ u = Id E et u ◦ v = Id F }
est un ouvert de L(E; F). En vertu du théorème d’analyse fonctionnelle suivant,
Isom(E ;F) coïncide avec l’ensemble des isomorphismes au sens algébrique.
Théorème 0.1 (Banach) Si E et F sont des espaces de Banach, la réciproque
d’une application linéaire continue et bijective de E sur F, est continue.
(Voir [2, Cor. II.6 p. 19].) Autrement dit, pour vérifier qu’une application u est
un isomorphisme de E sur F, il « suffit » de vérifier que u est linéaire continue
et bijective. En dimension finie, toutes les applications linéaires sont continues :
ce théorème n’a donc d’intérêt qu’en dimension infinie.
• Si E 1 , . . . , E n sont des espaces de Banach, le produit cartésien E = E 1 ×· · ·×E n ,
muni de
(x 1 , . . . , x n ) E = x 1 E 1 + · · · + x n E n ,
est aussi un espace de Banach. Une application f : E → F est n-linéaire (et
lorsqu’on ne veut pas préciser n on dit multi-linéaire) si pour tout j ∈ {1, . . . , n}
et pour tout (x 1 , . . . , x j−1 , x j+1 , . . . , x n ) ∈ E 1 × · · · E j−1 × E j+1 · · · × E n (avec
les conventions naturelles lorsque j = 1 ou j = n), l’application partielle
x ∈ E j → f(x 1 , . . . , x j−1 , x, x j+1 , . . . , x n )
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit