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Introduction
Cette partie s’achève par un chapitre sur la théorie des formes différentielles, souvent absente des cursus d’enseignements universitaires, et pourtant cruciale non seulement en mathématiques dites « pures » mais aussi dans les applications des mathématiques (thermodynamique, électromagnétisme, dynamique des fluides, etc.). On
définira les notions essentielles que sont le produit extérieur et la différentielle extérieure de q-formes différentielles sur R
n , et l’on présentera dans ce cadre les théorèmes
de Poincaré, Frobenius et Stokes. Ce chapitre ne nécessite pas de pré-requis particulier
et peut servir de vade mecum sur le sujet.
Hormis son dernier chapitre, la première partie constitue le bagage que l’on peut
attendre en calcul différentiel d’un étudiant en fin de licence.
L’analyse des équations différentielles est développée dans la seconde partie. Le
cadre est celui des équations différentielles « non pathologiques », au sens où elles sont
supposées résolues (en la dérivée d’ordre le plus élevé) et sans problème de régularité
(on choisit de ne pas s’aventurer sur le terrain de solutions généralisées, pour des
équations dont les données seraient peu régulières). C’est une partie comportant bien
sûr des outils, sous forme de lemmes, formules, théorèmes, etc. (comme le lemme
de Gronwall, la formule de Duhamel, le théorème de Cauchy-Lipschitz pour ne citer
que les outils de base), mais elle est aussi l’occasion d’insister sur diverses méthodes,
et notamment celles de Picard, Lyapunov-Schmidt et Melnikov. Sans négliger les
aspects « élémentaires », comme la résolution explicite dans les cas les plus simples
et la classification des points fixes dans le plan, elle va (bien) au-delà du théorème
d’existence et d’unicité de Cauchy-Lipschitz. Ceci commence par la question de la
dépendance des solutions par rapport aux « conditions initiales » (avec le théorème
du flot) et aux paramètres, et se poursuit par un approfondissement de la théorie
pour les équations linéaires d’une part, et pour les équations non-linéaires autonomes
d’autre part. Pour les premières, cela comprend la notion de résolvante, la théorie de
Floquet, des éléments d’analyse spectrale, les notions de projecteurs spectraux et de
dichotomies exponentielles. Pour les secondes, il s’agit essentiellement de l’étude de
l’existence et des propriétés qualitatives (comportement asymptotique, stabilité par
rapport aux paramètres) de solutions particulières (stationnaires, périodiques, orbites
homo/hétéroclines), sans chercher à les calculer explicitement, avec notamment la
théorie de Lyapunov et les théorèmes de Poincaré-Bendixson, de la variété stable et
de bifurcation de Hopf. Cette partie Équations différentielles peut faire l’objet d’un
solide cours de première année de master.
➤ Définitions et notations
• On suppose connue la notion d’espace vectoriel. Le corps de base des espaces
vectoriels considérés sera R (ou éventuellement C). Dans un espace vectoriel
normé E, on notera en général · · E la norme, ou simplement · · s’il n’y a
pas d’ambiguïté possible. Rappelons qu’une norme est caractérisée par les trois
propriétés suivantes : 1) quels que soient l ∈ R et x ∈ E, lx = |l| |x ; 2) le
Introduction
Cette partie s’achève par un chapitre sur la théorie des formes différentielles, souvent absente des cursus d’enseignements universitaires, et pourtant cruciale non seulement en mathématiques dites « pures » mais aussi dans les applications des mathématiques (thermodynamique, électromagnétisme, dynamique des fluides, etc.). On
définira les notions essentielles que sont le produit extérieur et la différentielle extérieure de q-formes différentielles sur R
n , et l’on présentera dans ce cadre les théorèmes
de Poincaré, Frobenius et Stokes. Ce chapitre ne nécessite pas de pré-requis particulier
et peut servir de vade mecum sur le sujet.
Hormis son dernier chapitre, la première partie constitue le bagage que l’on peut
attendre en calcul différentiel d’un étudiant en fin de licence.
L’analyse des équations différentielles est développée dans la seconde partie. Le
cadre est celui des équations différentielles « non pathologiques », au sens où elles sont
supposées résolues (en la dérivée d’ordre le plus élevé) et sans problème de régularité
(on choisit de ne pas s’aventurer sur le terrain de solutions généralisées, pour des
équations dont les données seraient peu régulières). C’est une partie comportant bien
sûr des outils, sous forme de lemmes, formules, théorèmes, etc. (comme le lemme
de Gronwall, la formule de Duhamel, le théorème de Cauchy-Lipschitz pour ne citer
que les outils de base), mais elle est aussi l’occasion d’insister sur diverses méthodes,
et notamment celles de Picard, Lyapunov-Schmidt et Melnikov. Sans négliger les
aspects « élémentaires », comme la résolution explicite dans les cas les plus simples
et la classification des points fixes dans le plan, elle va (bien) au-delà du théorème
d’existence et d’unicité de Cauchy-Lipschitz. Ceci commence par la question de la
dépendance des solutions par rapport aux « conditions initiales » (avec le théorème
du flot) et aux paramètres, et se poursuit par un approfondissement de la théorie
pour les équations linéaires d’une part, et pour les équations non-linéaires autonomes
d’autre part. Pour les premières, cela comprend la notion de résolvante, la théorie de
Floquet, des éléments d’analyse spectrale, les notions de projecteurs spectraux et de
dichotomies exponentielles. Pour les secondes, il s’agit essentiellement de l’étude de
l’existence et des propriétés qualitatives (comportement asymptotique, stabilité par
rapport aux paramètres) de solutions particulières (stationnaires, périodiques, orbites
homo/hétéroclines), sans chercher à les calculer explicitement, avec notamment la
théorie de Lyapunov et les théorèmes de Poincaré-Bendixson, de la variété stable et
de bifurcation de Hopf. Cette partie Équations différentielles peut faire l’objet d’un
solide cours de première année de master.
➤ Définitions et notations
• On suppose connue la notion d’espace vectoriel. Le corps de base des espaces
vectoriels considérés sera R (ou éventuellement C). Dans un espace vectoriel
normé E, on notera en général · · E la norme, ou simplement · · s’il n’y a
pas d’ambiguïté possible. Rappelons qu’une norme est caractérisée par les trois
propriétés suivantes : 1) quels que soient l ∈ R et x ∈ E, lx = |l| |x ; 2) le