Introduction
Si le cœur de cet ouvrage est véritablement l’analyse des équations différentielles (en
vue des applications), il commence par une partie consacrée aux éléments fondamentaux du calcul différentiel (du point de vue de l’analyse), de sorte qu’aucun pré-requis
n’est nécessaire en la matière : ce livre est essentiellement « auto-contenu » sur tout
ce qui touche au calcul différentiel et aux équations différentielles. Quant aux notions
indispensables de topologie, calcul intégral, analyse fonctionnelle, analyse complexe,
algèbre linéaire ou géométrie, elles sont rappelées au fil du texte, voire dans la suite
de ce préambule pour les plus couramment utilisées.
L’objectif de la première partie est de dérouler le calcul différentiel du point de
vue le plus intrinsèque possible, qui dépasse le cadre « élémentaire » des fonctions de
plusieurs variables réelles et de leurs dérivées partielles, tout en restant au niveau de
l’analyse classique. Le cadre choisi est celui des fonctions définies sur des (ouverts de)
R-espaces vectoriels normés. Il n’est pas question d’aborder ici le calcul différentiel
dans des espaces plus généraux (comme les espaces de Fréchet), ni sur les variétés (la
notion même de variété différentiable n’étant abordée que succinctement, à l’occasion
de l’analyse qualitative des équations différentielles). On présentera donc les grands
classiques du calcul différentiel (théorèmes des accroissements finis, d’inversion locale,
des fonctions implicites, formules de Taylor) dans les R-espaces vectoriels normés, le
plus souvent supposés complets (et alors appelés espaces de Banach). Les outils ainsi
introduits serviront dans la partie sur les équations différentielles dites « ordinaires »
(EDO), elles aussi considérées dans des R-espaces de Banach en général. Ce choix est
motivé par l’étude de modèles mathématiques pouvant être vus comme des EDO en
dimension infinie : par exemple les équations différentielles sur réseaux, issues ou non
de la discrétisation en espace d’équations aux dérivées partielles (EDP) d’évolution,
ou encore les équations différentielles dans des espaces fonctionnels comme L
2 (R)
(certaines EDP d’évolution pouvant être vues comme telles).
La première partie comprend en outre, dans un chapitre consacré aux problèmes
d’extremum, une introduction à l’optimisation continue et au calcul des variations.
Ce sont là de vastes domaines, dont on présentera les bases permettant d’aborder la
lecture d’ouvrages plus avancés. Ce sera de plus l’occasion de présenter une classe
importante d’équations différentielles, à savoir les équations d’Euler–Lagrange.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
Si le cœur de cet ouvrage est véritablement l’analyse des équations différentielles (en
vue des applications), il commence par une partie consacrée aux éléments fondamentaux du calcul différentiel (du point de vue de l’analyse), de sorte qu’aucun pré-requis
n’est nécessaire en la matière : ce livre est essentiellement « auto-contenu » sur tout
ce qui touche au calcul différentiel et aux équations différentielles. Quant aux notions
indispensables de topologie, calcul intégral, analyse fonctionnelle, analyse complexe,
algèbre linéaire ou géométrie, elles sont rappelées au fil du texte, voire dans la suite
de ce préambule pour les plus couramment utilisées.
L’objectif de la première partie est de dérouler le calcul différentiel du point de
vue le plus intrinsèque possible, qui dépasse le cadre « élémentaire » des fonctions de
plusieurs variables réelles et de leurs dérivées partielles, tout en restant au niveau de
l’analyse classique. Le cadre choisi est celui des fonctions définies sur des (ouverts de)
R-espaces vectoriels normés. Il n’est pas question d’aborder ici le calcul différentiel
dans des espaces plus généraux (comme les espaces de Fréchet), ni sur les variétés (la
notion même de variété différentiable n’étant abordée que succinctement, à l’occasion
de l’analyse qualitative des équations différentielles). On présentera donc les grands
classiques du calcul différentiel (théorèmes des accroissements finis, d’inversion locale,
des fonctions implicites, formules de Taylor) dans les R-espaces vectoriels normés, le
plus souvent supposés complets (et alors appelés espaces de Banach). Les outils ainsi
introduits serviront dans la partie sur les équations différentielles dites « ordinaires »
(EDO), elles aussi considérées dans des R-espaces de Banach en général. Ce choix est
motivé par l’étude de modèles mathématiques pouvant être vus comme des EDO en
dimension infinie : par exemple les équations différentielles sur réseaux, issues ou non
de la discrétisation en espace d’équations aux dérivées partielles (EDP) d’évolution,
ou encore les équations différentielles dans des espaces fonctionnels comme L
2 (R)
(certaines EDP d’évolution pouvant être vues comme telles).
La première partie comprend en outre, dans un chapitre consacré aux problèmes
d’extremum, une introduction à l’optimisation continue et au calcul des variations.
Ce sont là de vastes domaines, dont on présentera les bases permettant d’aborder la
lecture d’ouvrages plus avancés. Ce sera de plus l’occasion de présenter une classe
importante d’équations différentielles, à savoir les équations d’Euler–Lagrange.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit