5.1 Modélisation et applications
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La mécanique du solide donne également lieu à des équations différentielles du
second ordre que l’on peut obtenir comme équations d’Euler–Lagrange. C’est le cas
par exemple pour le mouvement d’une toupie, c’est-à-dire d’un solide de révolution
homogène avec un point fixe appartenant à l’axe de révolution (la pointe de la toupie) :
il « suffit » de trois angles pour décrire la position de ce solide (voir la figure 5.3),
appelés angles d’Euler, que l’on note ici c (précession), u (nutation), w (rotation
propre). Le lagrangien associé est de la forme
ϕ
X
O
G
Y
Z
z
x
y
u
u
ψ
θ
Figure 5.3 Toupie et angles d’Euler.
L(u, ˙
c, ˙
u, ˙
w) =
1
2
A ( ˙
u
2 + ˙
c
2 sin
2 u) +
1
2
C ( ˙
w + ˙
c cos u)
2
− m g cos u ,
où A et C sont les moments d’inertie du solide ( A par rapport aux directions orthogonales à l’axe de révolution, C par rapport à cet axe), m est sa masse, la distance entre
le point fixe et le centre d’inertie, g l’accélération de la pesanteur.
5.1.2 Électricité
L’état d’un circuit électrique composé de résistances, bobines et condensateurs, peut
être décrit par l’intensité I et la différence de potentiel U dans chacun de ces composants. Les différentes lois de l’électricité conduisent à un système d’équations
différentielles pour ces quantités. Considérons par exemple un circuit fermé comprenant un composant de chaque sorte, dans l’ordre résistance-bobine-condensateur (voir
la figure 5.4), la bobine ayant pour inductance L, le condensateur ayant pour capacité
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