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5 • Introduction et outils de base
k
x
0
Figure 5.1 Ressort, modèle d’oscillateur harmonique.
dite de l’oscillateur harmonique. Ou bien si u ∈ R est l’angle par rapport à la position
verticale au repos d’un pendule simple (voir la figure 5.2) de longueur , en l’absence
d’amortissement le mouvement de ce pendule est régi par l’équation
d
2 u
dt 2 + g sin u = 0 ,
(5.5)
où g désigne l’accélération de la pesanteur (à la surface de la Terre, g = G M/R
2 où
M est la masse de la Terre et R son rayon, soit g 9, 8 m.s
−2 ).
m
θ
Figure 5.2 Pendule simple (oscillant dans un plan).
Remarque :
• L’équation (5.5) est l’équation d’Euler–Lagrange associée au lagrangien
L(u, ˙
u) :=
1
2
m
2 ˙
u
2 + mg cos u .
(On fait apparaître ici la masse m pour une question de dimension physique,
la première partie du lagrangien correspondant à l’énergie cinétique et V :=
−mg cos u étant l’énergie potentielle du pendule.)
• Lorsque u est proche de 0, c’est-à-dire que le pendule oscille peu autour de
sa position au repos, on peut approcher sin u par u et l’équation (5.5) obtenue
revient à celle d’un oscillateur harmonique.