5.1 Modélisation et applications
127
Dans cette équation, l’espace des valeurs possibles des solutions t → x(t) est E = R
3
et l’ordre est n = 2. Notons que l’on peut écrire (5.2) de façon équivalente (au sens où
les solutions sont en bijection, ceci sera précisé par la suite) dans l’espace des phases
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
dx
dt
= v ,
dv
dt
=
1
m
F(x) .
(5.3)
Il se peut également que la force F dépende de la vitesse v : c’est le cas notamment en
présence d’amortissement. Pour cette « équation » (ou système), l’espace E est R
6 et
l’ordre est n = 1. La fonction F peut être vue comme un champ de vecteurs dans R
3 ,
que l’on appelle champ de forces. Lorsque F(x) est partout colinéaire à x, c’est-à-dire
que F(x) = l(x) x avec l une fonction scalaire, on dit que le champ de forces est
central. C’est le cas par exemple pour la force de gravitation exercée sur « petite »
planète de masse m par une « grosse » planète de masse M située en x = 0 : la loi de
la gravitation universelle donne
F(x) = −
G M m
x 2
x
x
= −
G M m
x 3 x ,
où G est la constante d’attraction universelle (G = 6, 672.10
−11 m
3 .s
−2 .kg
−1 ).
Lorsque le champ F est le gradient d’une fonction (scalaire) −V , on dit que V est le
potentiel de F. On vérifie que c’est le cas pour le champ ci-dessus, avec
V (x) = −
G M m
x
.
Remarque : L’équation (5.2) avec F = −grad V n’est autre que l’équation
d’Euler–Lagrange (voir le paragraphe 3.4 ) associée au lagrangien
L(x, v) :=
1
2
mv
2
− V (x) ,
où l’on reconnaît (dans le premier terme) l’énergie cinétique du point matériel
considéré.
L’équation (5.2) s’obtient aussi pour des mouvements en plus petite dimension. Par
exemple si x ∈ R
+ est la position de l’extrémité d’un ressort dont l’autre extrémité est
fixée en x = 0 (voir la figure 5.1), si est la longueur au repos de ce ressort et si k > 0
est sa raideur, on a F(x) = − k (x − ). L’équation obtenue pour y := x − est ainsi
m
d
2 y
dt 2 + k y = 0,
(5.4)
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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Dans cette équation, l’espace des valeurs possibles des solutions t → x(t) est E = R
3
et l’ordre est n = 2. Notons que l’on peut écrire (5.2) de façon équivalente (au sens où
les solutions sont en bijection, ceci sera précisé par la suite) dans l’espace des phases
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
dx
dt
= v ,
dv
dt
=
1
m
F(x) .
(5.3)
Il se peut également que la force F dépende de la vitesse v : c’est le cas notamment en
présence d’amortissement. Pour cette « équation » (ou système), l’espace E est R
6 et
l’ordre est n = 1. La fonction F peut être vue comme un champ de vecteurs dans R
3 ,
que l’on appelle champ de forces. Lorsque F(x) est partout colinéaire à x, c’est-à-dire
que F(x) = l(x) x avec l une fonction scalaire, on dit que le champ de forces est
central. C’est le cas par exemple pour la force de gravitation exercée sur « petite »
planète de masse m par une « grosse » planète de masse M située en x = 0 : la loi de
la gravitation universelle donne
F(x) = −
G M m
x 2
x
x
= −
G M m
x 3 x ,
où G est la constante d’attraction universelle (G = 6, 672.10
−11 m
3 .s
−2 .kg
−1 ).
Lorsque le champ F est le gradient d’une fonction (scalaire) −V , on dit que V est le
potentiel de F. On vérifie que c’est le cas pour le champ ci-dessus, avec
V (x) = −
G M m
x
.
Remarque : L’équation (5.2) avec F = −grad V n’est autre que l’équation
d’Euler–Lagrange (voir le paragraphe 3.4 ) associée au lagrangien
L(x, v) :=
1
2
mv
2
− V (x) ,
où l’on reconnaît (dans le premier terme) l’énergie cinétique du point matériel
considéré.
L’équation (5.2) s’obtient aussi pour des mouvements en plus petite dimension. Par
exemple si x ∈ R
+ est la position de l’extrémité d’un ressort dont l’autre extrémité est
fixée en x = 0 (voir la figure 5.1), si est la longueur au repos de ce ressort et si k > 0
est sa raideur, on a F(x) = − k (x − ). L’équation obtenue pour y := x − est ainsi
m
d
2 y
dt 2 + k y = 0,
(5.4)
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