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5 • Introduction et outils de base
telle que
F(t, u, u
, . . . , u
(n) ) = 0 ⇔ u
(n) = f (t, u, u
, . . . , u
(n−1) ) .
Définition 5.1 On appelle équation différentielle d’ordre n dans un espace de Banach
E une équation de la forme
u
(n) = f (t, u, u
, . . . , u
(n−1) ) ,
(5.1)
où f est une application définie sur I × U × U 1 × · · · × U n−1 , I étant un intervalle
de R et U , U 1 , . . . U n−1 des ouverts connexes de E. On appelle solution de (5.1) une
application u de classe C
n sur un intervalle J ⊂ I , telle que pour tout t ∈ J , u(t) ∈ U ,
u
(t) ∈ U 1 , . . . , u
(n−1) (t) ∈ U n−1 et
u
(n) (t) = f (t, u(t), u
(t), . . . , u
(n−1) (t)) .
Cas particuliers :
• Lorsque E = R, l’équation différentielle est dite scalaire.
• Lorsque f est linéaire par rapport à (u, u
, . . . , u
(n−1) ), l’équation différentielle est
dite linéaire homogène (à coefficients constants si de plus f ne dépend pas de t). Si
f est de la forme
f (t, u, u
, . . . , u
(n−1) ) = g(t, u, u
, . . . , u
(n−1) ) + b(t)
avec g linéaire par rapport à (u, u
, . . . , u
(n−1) ), l’équation différentielle est dite
linéaire avec terme source.
• Lorsque f est indépendante de t, l’équation différentielle est dite autonome.
5.1 MODÉLISATION ET APPLICATIONS
Les équations différentielles ordinaires en dimension finie, c’est-à-dire dans un espace
E de dimension finie (le plus souvent de petite dimension), fournissent des modèles
mathématiques dans divers domaines d’application. Nous allons en présenter quelques
uns avant de donner des exemples en dimension infinie.
5.1.1 Mécanique
L’équation de la mécanique des points matériels est fournie par la loi de Newton,
exprimant que la (résultante des) force(s) F(x) exercée sur un point matériel situé à la
position x ∈ R
3 est égale à son accélération multipliée par sa masse m :
m
d
2 x
dt 2 = F(x) .
(5.2)