Chapitre 5
Introduction et outils de base
Ce premier chapitre consacré aux équations différentielles dites « ordinaires » (essentiellement par opposition aux équations aux dérivées partielles) sera l’occasion de
décrire quelques modèles d’équations différentielles dans divers champs d’application,
qui motiveront (et à l’occasion permettront d’illustrer) les développements théoriques
ultérieurs. On exposera ensuite les bases de l’analyse mathématique de ces équations :
résolution explicite dans les cas les plus simples, puis existence, unicité, et dépendance
des solutions par rapport aux « conditions initiales » et aux paramètres. Le chapitre
suivant (chapitre 6) sera quant à lui consacré aux propriétés spécifiques des équations
linéaires, à coefficients constants puis à coefficients variables. À partir du chapitre 7, on
s’attaquera à l’analyse qualitative des équations différentielles autonomes, c’est-à-dire
à la description de propriétés des solutions comme leur comportement asymptotique
(en « temps grand » ) ou leur stabilité par rapport aux paramètres, sans chercher à
calculer explicitement ces solutions. On étudiera notamment l’existence et la stabilité
des solutions stationnaires, c’est-à-dire des états d’équilibre, qui jouent évidemment
un rôle crucial dans les applications.
La forme la plus générale d’une équation différentielle ordinaire (ou EDO en sigle)
est
F(t, u, u
, . . . , u
(n) ) = 0 ,
où u est une fonction inconnue de la variable réelle t à valeurs dans R
p ou plus
généralement dans un espace de Banach E, u
,...,u
(n) désignent les dérivées successives
de u, et F est une fonction donnée, supposée « régulière » (on précisera comment par
la suite) sur I × U × U 1 × · · · U n où I est un intervalle ouvert de R, U , U 1 , ..., U n sont
des ouverts connexes de E. On ne s’intéressera ici qu’à des équations différentielles
résolues, pour lesquelles il existe une fonction f , régulière sur I × U × U 1 × · · · U n−1
Introduction et outils de base
Ce premier chapitre consacré aux équations différentielles dites « ordinaires » (essentiellement par opposition aux équations aux dérivées partielles) sera l’occasion de
décrire quelques modèles d’équations différentielles dans divers champs d’application,
qui motiveront (et à l’occasion permettront d’illustrer) les développements théoriques
ultérieurs. On exposera ensuite les bases de l’analyse mathématique de ces équations :
résolution explicite dans les cas les plus simples, puis existence, unicité, et dépendance
des solutions par rapport aux « conditions initiales » et aux paramètres. Le chapitre
suivant (chapitre 6) sera quant à lui consacré aux propriétés spécifiques des équations
linéaires, à coefficients constants puis à coefficients variables. À partir du chapitre 7, on
s’attaquera à l’analyse qualitative des équations différentielles autonomes, c’est-à-dire
à la description de propriétés des solutions comme leur comportement asymptotique
(en « temps grand » ) ou leur stabilité par rapport aux paramètres, sans chercher à
calculer explicitement ces solutions. On étudiera notamment l’existence et la stabilité
des solutions stationnaires, c’est-à-dire des états d’équilibre, qui jouent évidemment
un rôle crucial dans les applications.
La forme la plus générale d’une équation différentielle ordinaire (ou EDO en sigle)
est
F(t, u, u
, . . . , u
(n) ) = 0 ,
où u est une fonction inconnue de la variable réelle t à valeurs dans R
p ou plus
généralement dans un espace de Banach E, u
,...,u
(n) désignent les dérivées successives
de u, et F est une fonction donnée, supposée « régulière » (on précisera comment par
la suite) sur I × U × U 1 × · · · U n où I est un intervalle ouvert de R, U , U 1 , ..., U n sont
des ouverts connexes de E. On ne s’intéressera ici qu’à des équations différentielles
résolues, pour lesquelles il existe une fonction f , régulière sur I × U × U 1 × · · · U n−1