4.5 Théorème de Stokes
121
où
∂w
∂n
= dw · n =
2
j=1
∂w
∂x j
n j .
D’autre part, en appliquant la j-ème composante de (4.9) à v = a j et en faisant la
somme sur j on obtient
U
(div a) u +
U
a · ∇u =
∂U
a, n u ds .
(4.11)
Les formules (4.9), (4.10) et (4.11) sont en fait valables en toute dimension, pour
autant que l’on définisse ds comme « l’élément de surface » de ∂U .
Mentionnons enfin une formule un peu plus sophistiquée, qui est l’analogue de (4.8)
lorsque U est remplacé par une portion de surface S dans R
3 de bord régulier G. On
suppose pour fixer les idées que S est paramétrée par une application
f : V ⊂ R
2
→ R
3
(x, y)
→ f (x, y)
telle que
∂ f
∂x ,
∂ f
∂ y ,
∂ f
∂x ×
∂ f
∂ y
forme une base directe de R
3 . On suppose de plus que
n :=
∂ f
∂x ×
∂ f
∂ y est de norme 1, et pour éviter tout problème, que n = f
∗ N avec N bien
définie et réguliere au voisinage de U et à valeurs dans la sphère unité. Par définition,
pour des fonctions a 1 , a 2 , a 3 assez régulières,
S
a 1 dx 2 ∧ dx 3 + a 2 dx 3 ∧ dx 1 + a 3 dx 1 ∧ dx 2 =
V
f
∗ a, n dx ⊗ dy .
On suppose maintenant que le bord de S,
G = {w(s) ∈ R
3 ; s ∈ [0, L]}
est orienté dans le sens trigonométrique par rapport à la normale n à S, et paramétré
par l’abscisse curviligne s. On définit en chaque point w(s) de G le vecteur unitaire t,
tangent à G, de composantes t j = w
(s), et m := t × n, vecteur unitaire normal à G.
Le long de G on a dx j = t j ds, et donc en particulier
m 1 ds = (t 2 n 3 − n 2 t 3 ) ds = n 3 dx 2 − n 2 dx 3 .
Or, pour toute fonction u assez régulière au voisinage de U dans R
3 ,
d(u N 3 dx 2 − u N 2 dx 3 ) =
∂(u N 3 )
∂x 1
dx 1 ∧ dx 2 −
∂(u N 3 )
∂x 3
dx 2 ∧ dx 3
+
∂(u N 2 )
∂x 1
dx 3 ∧ dx 1 −
∂(u N 2 )
∂x 2
dx 2 ∧ dx 3 =
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
121
où
∂w
∂n
= dw · n =
2
j=1
∂w
∂x j
n j .
D’autre part, en appliquant la j-ème composante de (4.9) à v = a j et en faisant la
somme sur j on obtient
U
(div a) u +
U
a · ∇u =
∂U
a, n u ds .
(4.11)
Les formules (4.9), (4.10) et (4.11) sont en fait valables en toute dimension, pour
autant que l’on définisse ds comme « l’élément de surface » de ∂U .
Mentionnons enfin une formule un peu plus sophistiquée, qui est l’analogue de (4.8)
lorsque U est remplacé par une portion de surface S dans R
3 de bord régulier G. On
suppose pour fixer les idées que S est paramétrée par une application
f : V ⊂ R
2
→ R
3
(x, y)
→ f (x, y)
telle que
∂ f
∂x ,
∂ f
∂ y ,
∂ f
∂x ×
∂ f
∂ y
forme une base directe de R
3 . On suppose de plus que
n :=
∂ f
∂x ×
∂ f
∂ y est de norme 1, et pour éviter tout problème, que n = f
∗ N avec N bien
définie et réguliere au voisinage de U et à valeurs dans la sphère unité. Par définition,
pour des fonctions a 1 , a 2 , a 3 assez régulières,
S
a 1 dx 2 ∧ dx 3 + a 2 dx 3 ∧ dx 1 + a 3 dx 1 ∧ dx 2 =
V
f
∗ a, n dx ⊗ dy .
On suppose maintenant que le bord de S,
G = {w(s) ∈ R
3 ; s ∈ [0, L]}
est orienté dans le sens trigonométrique par rapport à la normale n à S, et paramétré
par l’abscisse curviligne s. On définit en chaque point w(s) de G le vecteur unitaire t,
tangent à G, de composantes t j = w
(s), et m := t × n, vecteur unitaire normal à G.
Le long de G on a dx j = t j ds, et donc en particulier
m 1 ds = (t 2 n 3 − n 2 t 3 ) ds = n 3 dx 2 − n 2 dx 3 .
Or, pour toute fonction u assez régulière au voisinage de U dans R
3 ,
d(u N 3 dx 2 − u N 2 dx 3 ) =
∂(u N 3 )
∂x 1
dx 1 ∧ dx 2 −
∂(u N 3 )
∂x 3
dx 2 ∧ dx 3
+
∂(u N 2 )
∂x 1
dx 3 ∧ dx 1 −
∂(u N 2 )
∂x 2
dx 2 ∧ dx 3 =
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit