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4 • Formes différentielles
appelle de façon « générique » en analyse mathématique la formule de Green (dont la
compréhension nécessite quelques rudiments de géométrie différentielle). Commençons par la version la plus simple. Si f est une fonction scalaire différentiable au
voisinage d’un ouvert U de R
2 dont le bord est une courbe fermée régulière G, alors
U
∇u dx 1 ⊗ dx 2 =
∂U
u n ds ,
(4.8)
où n désigne la normale unitaire extérieure à U et s l’abscisse curviligne le long de G.
Supposons en effet la courbe
G = {w(s) ∈ R
2 ; s ∈ [0, L]}
orientée dans le sens trigonométrique et paramétrée par l’abscisse curviligne s : en
tout point w(s) de G, le vecteur normal unitaire n extérieur à U a pour composantes
(w
2 (s), −w
1 (s)). Ainsi on a le long de G,
dx 1 = w
1 (s) ds = −n 2 ds , dx 2 = w
2 (s) ds = n 1 ds .
Donc, d’après la formule de Stokes on a
U
∂u
∂x 1
dx 1 ∧ dx 2 =
G
u dx 2 =
G
u n 1 ds ,
U
∂u
∂x 2
dx 1 ∧ dx 2 = −
G
u dx 1 =
G
u n 2 ds ,
moyennant un léger abus de notation car l’expression correcte des termes de droite
serait plutôt
L
0
(w
∗ u) n j ds .
Ainsi la formule de Green (4.8) n’est autre que l’expression vectorielle des deux
formules ci-dessus (avec l’abus de notation mentionné). En appliquant (4.8) à un
produit uv au lieu de u on trouve
U
u∇v +
U
v∇u =
∂U
uv n ds .
(4.9)
En appliquant la j-ème composante de cette dernière formule (4.9) à v = ∂ j w et en
faisant la somme sur j on obtient
U
uDw +
U
∇u · ∇w =
∂U
u
∂w
∂n
ds ,
(4.10)