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4 • Formes différentielles
∂(u N 3 )
∂x 1
dx 1 ∧ dx 2 +
∂(u N 1 )
∂x 1
dx 2 ∧ dx 3 +
∂(u N 2 )
∂x 1
dx 3 ∧ dx 1 − div (uN) dx 2 ∧ dx 3 .
La formule de Stokes (théorème 4.18 généralisé) et le fait que
N
2
1 + N
2
2 + N
2
3 = 1 ,
3
j=1
N j
∂ N j
∂x j
= 0 ,
impliquent donc,
L
0
(w
∗ u) m 1 ds = −
V
f
∗ (u div N + N · ∇u) n 1 dx ⊗ dy +
V
f
∗ ∂u
∂x 1
dx ⊗ dy .
En effectuant le même calcul pour les autres composantes on trouve
L
0
(w
∗ u) m ds = −
V
f
∗ (u div N + N · ∇u) n dx ⊗ dy +
V
f
∗
∇u dx ⊗ dy ,
c’est-à-dire (avec à nouveau un léger abus de notation)
∂S
u m ds =
S
∇u − (u div N + N · ∇u) N
ds ,
où ds désigne l’« élément de surface » . Le lecteur avisé aura reconnu dans le facteur
−div N la courbure moyenne k de S. Par ailleurs, les termes dérivés en u correspondent
à ce que l’on appelle le gradient surfacique ∇ s . Ainsi la formule ci-dessus se réduit à
∂S
u m ds =
S
∇ s u + u k N
ds ,
formule qui étend (4.8) aux surfaces gauches (c’est-à-dire non-plates !). (Attention, m
joue le rôle de n dans (4.8), et ce qui est ici N ne joue pas de rôle dans (4.8) car k = 0
lorsque S = U est un ouvert du plan.)