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Chapitre 3 : Structure électronique des solides. Généralités
Exercice 3.2. États d’énergie d’un solide 2D
Trouver les cinq premiers états d’énergie les plus bas pour un solide 2D,
dans le cas où la solution de l’équation d’onde choisie est celle de Born-Von
Karman. Préciser la dégénérescence.
Dans le cas des conditions de périodicité dites de Born-Von Karman, le
vecteur d’onde s’écrit, en fonction de n et L (relation 3.3, Chimie des solides,
p. 119) :
k n = n
2π
L
où n est un nombre entier positif ou négatif. L’énergie correspondant à chaque
valeur de n a pour expression (relation 3.4, Chimie des solides p. 119) :
E n =
2
2m
n
2
2π
L
2
Dans un système bidimensionnel, on pose n
2 = (n x )
2 + (n y )
2 . Les valeurs de
l’énergie vont alors correspondre à n
2 = 1, 2, 3, 4, 5, 6. . . On obtient les
différentes possibilités :
n
2
n x
n y
dégénérescence
1 = 1
2 + 0 ±1
0
4 états possibles
0
±1
2 = 1
2 + 1
2
±1
±1
4 états possibles
3
Pas de possibilité
4 = 2
2 + 0 ±2
0
4 états possibles
0
±2
5 = 2
2 + 1
1
±2
±1
8 états possibles
±1
±2
6,7
Pas de possibilité
8 = 2
2 + 2
2
±2
±2
4 états possibles
On obtient ainsi des répartitions correspondant à 4 ou 8 états possibles,
chaque état ayant 2 possibilités de spin, donc de dégénérescence 8 ou 16.