Exemples
1. Déterminons la nature de la série de terme général Un I+ (! i )nn avec
n � 2. Remarquons tout d'abord qu'il ne s'agit pas d'une série à termes positifs puisque si n est pair, Un est positif alors que si n est impair, Un est négatif.
De plus cette série ne converge pas absolument car l unl '""' ..!. et la série har+ oo n
monique L n�l � diverge. Pour tout entier n � 2, on obtient en utilisant le
développement limité l �u = 1 - u + oo(u),
où Rn = O + = ( .,& ) . Comme la série L n� 1 ,; 2 converge, d'après le corollaire 1.3,
le « reste » Rn est le terme général d'une série absolument convergente. De plus,
la série harmonique alternée L n�l (-�r convergeant, on peut en déduire que
la série L n� 2 Un converge en tant que somme de trois séries convergentes, voir
la proposition 1. 3.
2. Déterminons la nature de la série de terme général un = ln ( 1 + ( -�{ ) .
Remarquons tout d'abord qu'il ne s'agit pas d'une série à termes positifs : si n
est pair, Un est positif alors que si n est impair, Un est négatif. En utilisant le
développement limité ln(l + x) = x - �x 2 + ix3 + o0(x3), on obtient :
où le reste Rn vérifie Rn = o + = (n - 3! 2 ). Nous avons vu que la série L n ( -J,r
était simplement convergente et que la série L n 2 � était divergente. Par ailleurs,
la série L n (;;,1j; est absolument convergente car
l(-1)3 n l - �- 1
3nvn - 3 n31 2
et L n n }12 est une série de Riemann convergente. Enfin, pour conclure remarquons que I Rnl = o + = (n - 31 2 ) et par conséquent, d'après le corollaire 1.3, la
série L n Rn est absolument convergente. La série L n Un est donc divergente :
elle se décompose en la somme de trois séries convergentes et d'une série divergente.
1.5 Groupement de termes et changement de l'ordre des
termes d'une série
Intéressons-nous à présent à la question suivante : est-il possible, sans changer la
nature ni la somme d'une série, de regrouper et sommer des termes consécutifs
de la série ou de permuter l'ordre des termes de la série ? On peut se convaincre
1. Déterminons la nature de la série de terme général Un I+ (! i )nn avec
n � 2. Remarquons tout d'abord qu'il ne s'agit pas d'une série à termes positifs puisque si n est pair, Un est positif alors que si n est impair, Un est négatif.
De plus cette série ne converge pas absolument car l unl '""' ..!. et la série har+ oo n
monique L n�l � diverge. Pour tout entier n � 2, on obtient en utilisant le
développement limité l �u = 1 - u + oo(u),
où Rn = O + = ( .,& ) . Comme la série L n� 1 ,; 2 converge, d'après le corollaire 1.3,
le « reste » Rn est le terme général d'une série absolument convergente. De plus,
la série harmonique alternée L n�l (-�r convergeant, on peut en déduire que
la série L n� 2 Un converge en tant que somme de trois séries convergentes, voir
la proposition 1. 3.
2. Déterminons la nature de la série de terme général un = ln ( 1 + ( -�{ ) .
Remarquons tout d'abord qu'il ne s'agit pas d'une série à termes positifs : si n
est pair, Un est positif alors que si n est impair, Un est négatif. En utilisant le
développement limité ln(l + x) = x - �x 2 + ix3 + o0(x3), on obtient :
où le reste Rn vérifie Rn = o + = (n - 3! 2 ). Nous avons vu que la série L n ( -J,r
était simplement convergente et que la série L n 2 � était divergente. Par ailleurs,
la série L n (;;,1j; est absolument convergente car
l(-1)3 n l - �- 1
3nvn - 3 n31 2
et L n n }12 est une série de Riemann convergente. Enfin, pour conclure remarquons que I Rnl = o + = (n - 31 2 ) et par conséquent, d'après le corollaire 1.3, la
série L n Rn est absolument convergente. La série L n Un est donc divergente :
elle se décompose en la somme de trois séries convergentes et d'une série divergente.
1.5 Groupement de termes et changement de l'ordre des
termes d'une série
Intéressons-nous à présent à la question suivante : est-il possible, sans changer la
nature ni la somme d'une série, de regrouper et sommer des termes consécutifs
de la série ou de permuter l'ordre des termes de la série ? On peut se convaincre