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Séries semi-convergentes
On remarquera que si la série L n an converge absolument alors la série trigonométrique L n anei n t converge elle aussi absolument pour tout t E lR car
lanei n t l = lanl · Le théorème suivant donne une condition suffisante sur la suite
(an)n permettant de s'assurer de la convergence de la série trigonométrique
L n anei n t . D'un point de vue pratique, il conviendra d'utiliser ce théorème
dans le cas où la convergence de la série trigonométrique ne pourra pas être
établie par la convergence absolue de la série L n an.
THÉORÈME 1.5 Si (an)n est une suite réelle à termes positifs, décroissante
et convergeant vers 0, alors pour tout t E lR \ 27rZ la série trigonométrique
L n ane i n t est convergente.
Démonstration On utilise la règle d'Abel. La suite (an)n étant par hypothèse
une suite à termes positifs, décroissante et convergeant vers 0, il faut montrer
que pour tout t E lR \ 27rZ la suite de terme général Un = ei n t vérifie :
3M EJR+ Vn EN / t uk / � M.
k =O
(11)
La suite ( un)n est une suite géométrique de raison r = eit. Pour tout
t E lR \ 27rZ on a r f:. 1 et par conséquent
I
� Uk 1
=
1 1 - ei ( n � l } t 1 =
yfl - cos((n + l)t) �
J2
�
1 - e't
yfl - cos(t)
yfl - cos(t )
L'assertion (11) est établie avec M = J l - c� s( t ) .
0
Exemple Considérons la série L n Un de terme général Un = s i � ) . Pour tout
n E N* , on a Un = Im(an ei n ) où an = 1/ ,,fiï. La suite (an)n est une suite
réelle à termes positifs, décroissante et convergeant vers 0 et t = 1 � 27rZ. Le
théorème 1.5 indique que la série L n an ei n converge. On en déduit que la série
'Ç"'
s i n ( n )
.
L. m�l .;n converge aussi.
1.4.5 Séries semi-convergentes ne relevant pas de la règle d'Abel
Lorsque la série L n Un n'est pas absolument convergente et que les critères
liés à la règle d'Abel ne s'appliquent pas, on peut essayer de déterminer un
développement asymptotique du terme général Un pour n au voisinage de +oo.
Si on peut déterminer la nature des séries dont le terme général intervient dans
'
•
(51)
le developpement asymptotique , on pourra conclure en ayant recours à la
proposition 1 .3 et au corollaire 1 .3. Nous allons illustrer cette méthode nommée
« méthode par éclatement de termes » sur deux exemples.
<51> voir le Cours de première année, section 17.4.3 p. 797 et section 17.6 p. 809.
Séries semi-convergentes
On remarquera que si la série L n an converge absolument alors la série trigonométrique L n anei n t converge elle aussi absolument pour tout t E lR car
lanei n t l = lanl · Le théorème suivant donne une condition suffisante sur la suite
(an)n permettant de s'assurer de la convergence de la série trigonométrique
L n anei n t . D'un point de vue pratique, il conviendra d'utiliser ce théorème
dans le cas où la convergence de la série trigonométrique ne pourra pas être
établie par la convergence absolue de la série L n an.
THÉORÈME 1.5 Si (an)n est une suite réelle à termes positifs, décroissante
et convergeant vers 0, alors pour tout t E lR \ 27rZ la série trigonométrique
L n ane i n t est convergente.
Démonstration On utilise la règle d'Abel. La suite (an)n étant par hypothèse
une suite à termes positifs, décroissante et convergeant vers 0, il faut montrer
que pour tout t E lR \ 27rZ la suite de terme général Un = ei n t vérifie :
3M EJR+ Vn EN / t uk / � M.
k =O
(11)
La suite ( un)n est une suite géométrique de raison r = eit. Pour tout
t E lR \ 27rZ on a r f:. 1 et par conséquent
I
� Uk 1
=
1 1 - ei ( n � l } t 1 =
yfl - cos((n + l)t) �
J2
�
1 - e't
yfl - cos(t)
yfl - cos(t )
L'assertion (11) est établie avec M = J l - c� s( t ) .
0
Exemple Considérons la série L n Un de terme général Un = s i � ) . Pour tout
n E N* , on a Un = Im(an ei n ) où an = 1/ ,,fiï. La suite (an)n est une suite
réelle à termes positifs, décroissante et convergeant vers 0 et t = 1 � 27rZ. Le
théorème 1.5 indique que la série L n an ei n converge. On en déduit que la série
'Ç"'
s i n ( n )
.
L. m�l .;n converge aussi.
1.4.5 Séries semi-convergentes ne relevant pas de la règle d'Abel
Lorsque la série L n Un n'est pas absolument convergente et que les critères
liés à la règle d'Abel ne s'appliquent pas, on peut essayer de déterminer un
développement asymptotique du terme général Un pour n au voisinage de +oo.
Si on peut déterminer la nature des séries dont le terme général intervient dans
'
•
(51)
le developpement asymptotique , on pourra conclure en ayant recours à la
proposition 1 .3 et au corollaire 1 .3. Nous allons illustrer cette méthode nommée
« méthode par éclatement de termes » sur deux exemples.
<51> voir le Cours de première année, section 17.4.3 p. 797 et section 17.6 p. 809.