Séries numériques
47
ABEL, Niels Henrik (1802, Stavanger - 1829, Froland) .
Abel a démontré, à l'âge de 19 ans, l'impossibilité de résoudre
par radicaux les équations polynomiales de degré 5, ce que
son contemporain Evariste Galois généralisera à tout entier
strictement supérieur à 4. Suite à ces premiers travaux, il
a introduit les fonctions elliptiques et plus généralement les
intégrales abéliennes. Récemment les intégrales abéliennes ont
joué un rôle fondamental dans la démonstration par Andrew
Wiles du théorème de Fermat résolvant par la négative un
problème posé voici plus de trois cents ans : est-il possible
de trouver trois nombres entiers non nuls x, y et z, tels que
x
n
+ y
n
= z
n pour une puissance n supérieure à 2?
•
( 50)
•
Le Pnx Abel est une récompense créé en 2002 par le gouvernement norvégien dans
le but de combler l'absence d'un Prix Nobel en mathématiques. (On considérait toutefois en général que la médaille Fields, d'origine canadienne, en était l'équivalent.)
tout k E {m, ... ,n-1}. On en déduit que
n -1
I R(m, n)I � O:n lUn l+o:m lUm -1 1 + L (a k - O:k+ 1 ) IUk l
k=m
n -1
� M ( an + O:m + L (ak - O:k+ 1 ) ) = 2 1\!lam. (10)
k=m
Si M = 0 on a R(m, n) = 0 et le résultat est trivial. On suppose donc que
M > O. La suite (an)n étant une suite à termes positifs qui tend vers 0, on a:
V€ E IR� 3N E N Vm E N ( m ? N ===? am � €) .
En particulier, pour €= 2 �1 on obtient :
3N E N Vm E N ( m ? N ===? am � · 2�1 ) ,
ce qui, compte tenu de la relation (10), implique que pour tous entiers m et n
tels que n? m? N, on a I R(m, n) I � 2Mam � é . La série de terme général
Vn = O:nUn vérifie bien le critère de Cauchy. Par conséquent elle converge. 0
1.4.4 Séries trigonométriques
DÉFINITION 1.10 On appelle série trigonométrique toute série dont le terme
général est de la fo rme anei n t où (an)n est une suite réelle et t un réel.
<50 > s· ffi · 1
11
1te o c1e : http : www . abelprisen .no
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ABEL, Niels Henrik (1802, Stavanger - 1829, Froland) .
Abel a démontré, à l'âge de 19 ans, l'impossibilité de résoudre
par radicaux les équations polynomiales de degré 5, ce que
son contemporain Evariste Galois généralisera à tout entier
strictement supérieur à 4. Suite à ces premiers travaux, il
a introduit les fonctions elliptiques et plus généralement les
intégrales abéliennes. Récemment les intégrales abéliennes ont
joué un rôle fondamental dans la démonstration par Andrew
Wiles du théorème de Fermat résolvant par la négative un
problème posé voici plus de trois cents ans : est-il possible
de trouver trois nombres entiers non nuls x, y et z, tels que
x
n
+ y
n
= z
n pour une puissance n supérieure à 2?
•
( 50)
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Le Pnx Abel est une récompense créé en 2002 par le gouvernement norvégien dans
le but de combler l'absence d'un Prix Nobel en mathématiques. (On considérait toutefois en général que la médaille Fields, d'origine canadienne, en était l'équivalent.)
tout k E {m, ... ,n-1}. On en déduit que
n -1
I R(m, n)I � O:n lUn l+o:m lUm -1 1 + L (a k - O:k+ 1 ) IUk l
k=m
n -1
� M ( an + O:m + L (ak - O:k+ 1 ) ) = 2 1\!lam. (10)
k=m
Si M = 0 on a R(m, n) = 0 et le résultat est trivial. On suppose donc que
M > O. La suite (an)n étant une suite à termes positifs qui tend vers 0, on a:
V€ E IR� 3N E N Vm E N ( m ? N ===? am � €) .
En particulier, pour €= 2 �1 on obtient :
3N E N Vm E N ( m ? N ===? am � · 2�1 ) ,
ce qui, compte tenu de la relation (10), implique que pour tous entiers m et n
tels que n? m? N, on a I R(m, n) I � 2Mam � é . La série de terme général
Vn = O:nUn vérifie bien le critère de Cauchy. Par conséquent elle converge. 0
1.4.4 Séries trigonométriques
DÉFINITION 1.10 On appelle série trigonométrique toute série dont le terme
général est de la fo rme anei n t où (an)n est une suite réelle et t un réel.
<50 > s· ffi · 1
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