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Séries semi-convergentes
On peut remarquer que la majoration de l'erreur donnée par la proposition 1 .15
est sur cet exemple est largement excessive. On observe qu'une l'erreur devient
inférieure à 10 -3 dès N = 250 et que pour N = 499 l'erreur est en fait de
l'ordre de 510 - 4 .
On comprendra les limites de l'approximation de la somme de série alternée
selon cette approche en considérant la série L n �l (-1 r / fo. Pour obtenir une
valeur approchée de sa somme à 10 - 6 près en calculant SN = L:: : =l ( - 1 ) n / fo,
la valeur de N doit être d'environ 10 1 2 (mille milliards).
1.4.3 Règle d'Abel
Le critère spécial pour les séries alternées correspond à un cas particulier d'un
résultat plus général connu sous le nom de règle d'Abel.
THÉORÈME 1.4 (Règle d'Abel)
Soient (un)n une suite numérique et (an)n une suite de réels positifs. Si,
1 . la suite (an)n est décroissante et converge vers 0,
2. 31\ll E JR + ' alors la série L n an Un converge.
Démonstration Pour montrer que la série de terme général Vn = an Un
converge, nous allons montrer qu'elle vérifie le critère de Cauchy <49> . Pour tout
n E N, on note Un = L� =O U k ; on a donc Un = Un - Un - 1 pour n ? 1 et
Uo = uo. De plus, d'après les hypothèses du théorème, on a IUn l :::; M pour
tout n EN. Il s'agit de montrer que
Vê ElR� 3N EN V(m, n) EN 2 (n?m?N =? l f vk l :::; ê ) .
k=m
Soient ê un réel strictement positif et m et n deux entiers tels que n ? m.
Posant R(m, n) = L:� =m V k, on obtient
n
n
n
n
R(m, n) = L akuk = L ak(Uk - Uk - 1 ) = L a k U k - L akUk - 1
k=m
k=m
k=m
k=m
n
n - 1
n - 1
= L akuk - L Cl'.k +l uk = anUn - amU m - 1 + L (ak - Cl'.k + i ) uk.
k=m
k=m - 1
k=m
Comme la suite (an)n est positive et décroissante, on a a k - Cl'.k + i ? 0 pour
<49' Voir le théorème 1.1 p. 9.