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Groupement de termes et changement de l'ordre des termes
sur des exemples que ces manipulations sur les termes d'une série peuvent
modifier la nature de la série et que des hypothèses sur la série sont nécessaires
pour que la nature et la somme de la série restent inchangées.
Considérons la série L n Un de terme général Un = ( -1 )E( � l ln( n) qui diverge
grossièrement et effectuons un regroupement de quatre termes consécutifs de
la série :
ln(2) ln(3) - ln(4) - ln(5), - ln(6) - ln(7) ln(8) ln(9),
= Vo
= V1
ln( 9) ln{lü) - ln(ll) - ln(12), . ..
On définit ainsi une série L n Vn de terme général
_
_
n + l ((4n + 4) ' (4n + 5))
Vn - U 4 n +2 + U4n + 3 + U 4 n +4 + U 4 n + 5 - (-1) ln (4n + 2){4n + 3)
dont on a établi la convergence p. 43.
Considérons par ailleurs la série L n Un de terme général Un = ( :}{ qui est
une série convergente. Si l'on permute l'ordre des termes de sorte d'avoir tous
les termes d'indice pair puis tous les termes d'indice impair. La série ainsi
construite est divergente car L�:i_ u 2 n = L�:i_ ffn = +oo et L�:i_ u 2 n - 1 =
"'+(X) - 1
L... . n=l v'2 n - 1 =
-OO.
Les résultats qui suivent vont fournir des conditions permettant de regrouper des termes consécutifs ou permuter l'ordre des termes d'une série sans en
changer ni la nature ni la somme.
PROPOSITION 1.16 (Groupement de termes)
Soient L n Un une série numérique,

croissante et L n Vn la série numérique définie par :
cp(O)
v a = L u k ,
k=O
ip (n)
et Vn = L U k pour tout n ;;:: 1.
k=cp( n -1 ) + 1
- Si la série L n Un converge alors la série L n Vn converge et ces deux séries
ont méme somme.
- Si la série L n Un est à termes positifs et si la série L n Vn converge alors
la série L n Un converge et ces deux séries ont méme somme.
Démonstration !:'.'. Soient (Un)n la suite des sommes partielles associée à la
série L n Un et (Vn)n celle associée à la série L n Vn · Pour tout n E N, on a
n ip (n)
Vn = L V k = L U k = U cp( n);
k=O k=O