Séries numériques
43
La suite (o:n)n convergeant vers 0, on a bien limn_, + 00 (An-Bn) = 0 et les suites
(An)n et (Bn)n sont adjacentes. Elles convergent donc et ont même limite <4 8 > .
Leur limite commune U vérifie <4 5 > :
Le théorème est démontré.
0
Exemples
1. La série L n ;:;;, 1 ( -1 r / Vn est une série alternée convergente. En effet, la suite
( o:n)n de terme général O:n = 1/ .fiï est une suite à termes positifs, tendant
vers 0 et strictement décroissante puisque pour tout entier n � 1,
1
1
1
O:n+ 1 - 0:n=
- -=< 0.
v'n + 1 Vn
.;n+l.fiï(v'n + 1 + .fiï)
2. Nous avons vu que la série L n ;:;;, l Un de terme général Un = 1 - J1 + (-� ) n
était une série alternée et que pour tout n E N* on avait Un = ( -1 r +i O:n avec
O:n = (-1r ( J1 + (-� ) n - 1) > O. La suite (o:n)n converge clairement vers O.
On établira à titre d'exercice qu'elle est bien décroissante. Il s'agit donc d'une
série alternée convergente.
3. Considérons la série L n Un de terme général Un = ( -l) n +l O:n où
l ( ( 4 n + 4 )( 4 n + 5 ) ) 0
O:n = 11 ( 4 n + 2 )( 4 n +3) . n a
( 3
2 )
3
2
1
O:n = ln 1 + 2n + 1 - 4n + 3 +� 2n + 1 - 4n + 3 +� ;;: ·
La suite (o:n)n converge donc vers 0 et est positive à partir d'un certain rang.
Pour tout n EN, on a
= ln (
(4n + 8)(4n + 9)(4n + 2)(4n + 3)
)
(4n + 6)(4n + 7)(4n + 5)(4n +4)
11
1 - ..,.---,-,---..,..-,---,-,----,1 (
32n 2 + 88n + 51
)
(2n + 3)(4n + 7)(n + 1)(4n + 5) ·
Comme 32n 2 + 88n + 51 > 0 pour tout n E N et que la fonction logarithme est
négative sur JO, 1[, on en déduit que O:n+i - O:n < O. La suite (an)n est donc
décroissante et on peut en conclure que la série L n Un converge.
Remarque Il est établi à l'exercice 1.8 qu'une condition nécessaire et suffisante pour que les séries alternées L n (-lran et L n (-l) n +l an convergent
absolument est que la série L n O:n converge. Si la série L n O:n converge il est
<4 5 > Voir le théorème 5.2 p. 185 du Cours de première année.
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La suite (o:n)n convergeant vers 0, on a bien limn_, + 00 (An-Bn) = 0 et les suites
(An)n et (Bn)n sont adjacentes. Elles convergent donc et ont même limite <4 8 > .
Leur limite commune U vérifie <4 5 > :
Le théorème est démontré.
0
Exemples
1. La série L n ;:;;, 1 ( -1 r / Vn est une série alternée convergente. En effet, la suite
( o:n)n de terme général O:n = 1/ .fiï est une suite à termes positifs, tendant
vers 0 et strictement décroissante puisque pour tout entier n � 1,
1
1
1
O:n+ 1 - 0:n=
- -=< 0.
v'n + 1 Vn
.;n+l.fiï(v'n + 1 + .fiï)
2. Nous avons vu que la série L n ;:;;, l Un de terme général Un = 1 - J1 + (-� ) n
était une série alternée et que pour tout n E N* on avait Un = ( -1 r +i O:n avec
O:n = (-1r ( J1 + (-� ) n - 1) > O. La suite (o:n)n converge clairement vers O.
On établira à titre d'exercice qu'elle est bien décroissante. Il s'agit donc d'une
série alternée convergente.
3. Considérons la série L n Un de terme général Un = ( -l) n +l O:n où
l ( ( 4 n + 4 )( 4 n + 5 ) ) 0
O:n = 11 ( 4 n + 2 )( 4 n +3) . n a
( 3
2 )
3
2
1
O:n = ln 1 + 2n + 1 - 4n + 3 +� 2n + 1 - 4n + 3 +� ;;: ·
La suite (o:n)n converge donc vers 0 et est positive à partir d'un certain rang.
Pour tout n EN, on a
= ln (
(4n + 8)(4n + 9)(4n + 2)(4n + 3)
)
(4n + 6)(4n + 7)(4n + 5)(4n +4)
11
1 - ..,.---,-,---..,..-,---,-,----,1 (
32n 2 + 88n + 51
)
(2n + 3)(4n + 7)(n + 1)(4n + 5) ·
Comme 32n 2 + 88n + 51 > 0 pour tout n E N et que la fonction logarithme est
négative sur JO, 1[, on en déduit que O:n+i - O:n < O. La suite (an)n est donc
décroissante et on peut en conclure que la série L n Un converge.
Remarque Il est établi à l'exercice 1.8 qu'une condition nécessaire et suffisante pour que les séries alternées L n (-lran et L n (-l) n +l an convergent
absolument est que la série L n O:n converge. Si la série L n O:n converge il est
<4 5 > Voir le théorème 5.2 p. 185 du Cours de première année.