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Séries semi-convergentes
donc inutile et fortement déconseillé d'utiliser le critère spécial pour les séries
alternées.
o
· 1 La condition de décroissance de la suite (o:n)n est essentielle. Par exemple,
on ne peut pas appliquer le critère spécial pour les séries alternées à la série
lt , d t
, , 1
(-lt
a ernee e erme genera Un = vn+( - i) n .
La suite (o:n)n de terme général o:n = vn + ( -
i
) n est bien une suite à termes
positifs, tendant vers 0 mais elle n'est pas décroissante. Pour le vérifier, il suffit
de remarquer que si n désigne un entier pair supérieur à 2, on a
fa+1
(fa+ 1)(vn+1 + 1)
=
=
> 1
vn + 1 - 1
n
car fa+ 1 > fa et VnTI + 1 > fa. On remarquera que la suite ( o:n)n possède
une sous-suite croissante, donc cette suite ne peut pas être décroissante. Il ne
faudrait toutefois pas penser pour autant que la suite (o:n)n est croissante. On
peut montrer qu'elle n'est pas monotone en vérifiant que °' n +i < 1 si n est un
<> n
entier impair. On ne peut donc pas appliquer le critère spécial pour les séries
alternées à la série alternée de terme général Un = )n�t��
) n . On peut toutefois
montrer par un autre procédé que cette série alternée diverge.
Pour cela, considérons la série de terme général Vn = n +( - � ) n vn · Il s'agit d'une
série à termes positifs (car pour tout n E N* on a fa � n) qui diverge car
Vn rv .!. . Or ' pour tout entier n � 2 on a
+oo n
Comme on a montré précédemment que la série alternée L n �l (An convergeait, la série L n � 2 Un ne peut converger sans quoi d'après la proposition 1 .3
la série L n � 2 Vn convergerait.
Exercice 1.14 Déterminer la nature de la série L n Un de terme général :
2 n
2-Un = (-l t n!
PROPOSITION 1.15 (Majoration du reste d'une série alternée)
Si la suite (o:n)n est une suite de réels positifs, décroissante et convergeant
vers 0, alors la série alternée L n (-l) n o:n converge et le reste à l'ordre n
défini par Rn = Lk:,: + 1 (-l) n o:n vérifie : l.Rnl � O:n+i·
Séries semi-convergentes
donc inutile et fortement déconseillé d'utiliser le critère spécial pour les séries
alternées.
o
· 1 La condition de décroissance de la suite (o:n)n est essentielle. Par exemple,
on ne peut pas appliquer le critère spécial pour les séries alternées à la série
lt , d t
, , 1
(-lt
a ernee e erme genera Un = vn+( - i) n .
La suite (o:n)n de terme général o:n = vn + ( -
i
) n est bien une suite à termes
positifs, tendant vers 0 mais elle n'est pas décroissante. Pour le vérifier, il suffit
de remarquer que si n désigne un entier pair supérieur à 2, on a
fa+1
(fa+ 1)(vn+1 + 1)
=
=
> 1
vn + 1 - 1
n
car fa+ 1 > fa et VnTI + 1 > fa. On remarquera que la suite ( o:n)n possède
une sous-suite croissante, donc cette suite ne peut pas être décroissante. Il ne
faudrait toutefois pas penser pour autant que la suite (o:n)n est croissante. On
peut montrer qu'elle n'est pas monotone en vérifiant que °' n +i < 1 si n est un
<> n
entier impair. On ne peut donc pas appliquer le critère spécial pour les séries
alternées à la série alternée de terme général Un = )n�t��
) n . On peut toutefois
montrer par un autre procédé que cette série alternée diverge.
Pour cela, considérons la série de terme général Vn = n +( - � ) n vn · Il s'agit d'une
série à termes positifs (car pour tout n E N* on a fa � n) qui diverge car
Vn rv .!. . Or ' pour tout entier n � 2 on a
+oo n
Comme on a montré précédemment que la série alternée L n �l (An convergeait, la série L n � 2 Un ne peut converger sans quoi d'après la proposition 1 .3
la série L n � 2 Vn convergerait.
Exercice 1.14 Déterminer la nature de la série L n Un de terme général :
2 n
2-Un = (-l t n!
PROPOSITION 1.15 (Majoration du reste d'une série alternée)
Si la suite (o:n)n est une suite de réels positifs, décroissante et convergeant
vers 0, alors la série alternée L n (-l) n o:n converge et le reste à l'ordre n
défini par Rn = Lk:,: + 1 (-l) n o:n vérifie : l.Rnl � O:n+i·