42
Séries semi-convergentes
autrement dit, Un = (-1r +i an avec an = (-l) n ( J1 + (-�)n -1) .
THÉORÈME 1.3 (Critère spécial pour les séries alternées)
Si la suite ( an)n est une suite de réels positifs, décroissante et convergeant
vers 0 alors la série alternée L n ( -1) n an converge et a pour somme un réel U
qui vérifie pour tout n E N
où (Un)n désigne la suite des sommes partielles associée à la série alternée.
Démonstration Soit L n Un une série de terme général Un = (-l) n an où
( an)n désigne une suite de réels positifs, décroissante et convergeant vers O.
Considérons la suite (Un)n des sommes partielles associée à cette série alternée.
Par définition, la série alternée L n Un converge si la suite (Un)n converge. Une
condition nécessaire et suffisante <4 6 > pour que la suite (Un)n converge est que
la suite extraite (An)n correspondant à ses termes d'indice pair et que la suite
extraite (Bn)n correspondant à ses termes d'indice impair convergent toutes
les deux et admettent la même limite. Nous allons montrer que les suites (An)n
(B )
d
. d .
�"
et n n sont eux smtes a Jacentes .
Pour tout n E N on a :
2 n +2
2 n
An +I - An = U 2 n +2 - U 2 n = L U k - L U k = U 2 n +2 + U 2 n +l
k=O
k=O
= (-1) 2 n +2 a 2 n +2 + (-1) 2 n +l 0! 2 n +l = 0! 2 n +2 - Ü!2 n +l ·
La suite ( an)n étant une suite décroissante de réels positifs, on a An +l -An ::;;; 0
ce qui montre que la suite (An)n est décroissante. Par ailleurs, pour tout n E N
on a:
2 n +3
2 n +l
Bn +I - Bn = U 2 n +3 - U 2 n +I = L U k - L U k = U 2 n+3 + U 2 n +2
k=O
k=O
(-1) 2 n+3 0! 2 n+3 + (-1) 2 n +2 a 2 n +2 = Ü!2 n +2 - 0! 2 n +3 ·
La suite (an)n étant une suite décroissante de réels positifs, on a Bn +l -Bn ;:: 0
ce qui montre que la suite (Bn)n est croissante.
Pour montrer que les suites (An)n et (Bn)n sont deux suites adjacentes, il reste
à vérifier que limn-+ +oo (An - Bn) =O. Pour tout n EN on a:
2 n
2 n +l
An - Bn = U 2 n - U 2 n +l = L U k - L U k = -U 2 n +I = Ü!2 n +l ·
.
k=O
k=O
<4 6) Voir la proposition 5.9 p. 189 du Cours de première année.
<4 7 > voir la définition 5.6 p. 185 du Cours de première année.
Séries semi-convergentes
autrement dit, Un = (-1r +i an avec an = (-l) n ( J1 + (-�)n -1) .
THÉORÈME 1.3 (Critère spécial pour les séries alternées)
Si la suite ( an)n est une suite de réels positifs, décroissante et convergeant
vers 0 alors la série alternée L n ( -1) n an converge et a pour somme un réel U
qui vérifie pour tout n E N
où (Un)n désigne la suite des sommes partielles associée à la série alternée.
Démonstration Soit L n Un une série de terme général Un = (-l) n an où
( an)n désigne une suite de réels positifs, décroissante et convergeant vers O.
Considérons la suite (Un)n des sommes partielles associée à cette série alternée.
Par définition, la série alternée L n Un converge si la suite (Un)n converge. Une
condition nécessaire et suffisante <4 6 > pour que la suite (Un)n converge est que
la suite extraite (An)n correspondant à ses termes d'indice pair et que la suite
extraite (Bn)n correspondant à ses termes d'indice impair convergent toutes
les deux et admettent la même limite. Nous allons montrer que les suites (An)n
(B )
d
. d .
�"
et n n sont eux smtes a Jacentes .
Pour tout n E N on a :
2 n +2
2 n
An +I - An = U 2 n +2 - U 2 n = L U k - L U k = U 2 n +2 + U 2 n +l
k=O
k=O
= (-1) 2 n +2 a 2 n +2 + (-1) 2 n +l 0! 2 n +l = 0! 2 n +2 - Ü!2 n +l ·
La suite ( an)n étant une suite décroissante de réels positifs, on a An +l -An ::;;; 0
ce qui montre que la suite (An)n est décroissante. Par ailleurs, pour tout n E N
on a:
2 n +3
2 n +l
Bn +I - Bn = U 2 n +3 - U 2 n +I = L U k - L U k = U 2 n+3 + U 2 n +2
k=O
k=O
(-1) 2 n+3 0! 2 n+3 + (-1) 2 n +2 a 2 n +2 = Ü!2 n +2 - 0! 2 n +3 ·
La suite (an)n étant une suite décroissante de réels positifs, on a Bn +l -Bn ;:: 0
ce qui montre que la suite (Bn)n est croissante.
Pour montrer que les suites (An)n et (Bn)n sont deux suites adjacentes, il reste
à vérifier que limn-+ +oo (An - Bn) =O. Pour tout n EN on a:
2 n
2 n +l
An - Bn = U 2 n - U 2 n +l = L U k - L U k = -U 2 n +I = Ü!2 n +l ·
.
k=O
k=O
<4 6) Voir la proposition 5.9 p. 189 du Cours de première année.
<4 7 > voir la définition 5.6 p. 185 du Cours de première année.