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Formes bilinéaires et formes quadratiques
PROPOSITION 8.15 Soient E un espace vectoriel de dimension finie n E N*
et {fi , . . . , fr} une famille de r formes linéaires indépendantes. On a
dim (n Ker(fi)) = n - r.
i=l
Démonstration D'après le théorème de la base incomplète c46> , la famille
libre {fi , . .. , fr} de l'espace vectoriel E* peut être complétée en une base
f3 = (fi , fz, . . . , fn ) de E*. D'après la proposition 8.14, il existe une base
B = ( e 1 , ... , en) de E dont la base duale est B.
Soit x un élément de E dont la décomposition dans la base B est x = .z::: ::; 7 =1 Xjej
avec (x 1 , ... , Xn) E !R n . On a les équivalences suivantes :
r
XE n Ker(fi) <===? Vi E{l, . . .,r} fi (x) = 0
i=l
n
<===? Vi E{l, . . .,r} fi ( L xjej) = 0
j=l
n
<===? Vi E {1, . .. , r} L:xjfi(ej) = 0
j=l
Puisque f3 est la base duale de la base B, d'après la proposition 8.12, on a pour
tout (i,j) E {1, . . . , n} 2 l'égalité fi (ej) = Ôji, de sorte que
r
XE n Ker(fü <===? Vi E { 1, ... ,r} Xi = 0
i =l
<===? x E Vect {er+ 1 , ... ,en} ·
Autrement dît on a montré que n� =l Ker(fi) = Vect{ er+i , ... , en} · Les n - r
vecteurs er+ l ,. .. ,en étant des vecteurs linéairement îndépendants c47> , l'espace
vectoriel Vect{ er+i . ... , en} est de dimension n - r ce qui termine la preuve. D
Remarques
1. Un sous-espace vectoriel de dimension n- 1 d'un espace vectoriel Ede dimension n est appelé un hyperplan de E. Par exemple, les hyperplans de JR 3 sont
les plans vectoriels alors que les hyperplans de IR 2 correspondent aux droites
vectorielles. La proposition 8.15 affirme (en prenant r = 1 ) que le noyau d'une
forme linéaire non nulle est un hyperplan.
(46) Voir par exemple le Cours de première année p. 327.
<47> Rappelons qu'une sous-famille d'une famille libre est libre.