Algèbre bilinéaire
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2. Il existe un résultat plus général que celui énoncé dans la proposition 8.15
(mais qui ne sera pas utilisé dans ce cours) affirmant que tout sous-espace vectoriel de dimension n - r d'un espace vectoriel de dimension n est l'intersection
de r noyaux de formes linéaires indépendantes. Par exemple, tout hyperplan
est le noyau d'une forme linéaire non nulle.
o
.Exemples
1. L'application (xi, x 2 ) E IR 2 1-+ a 1 x 1 + a 2 x 2 E lR où (a 1 , a 2 ) E IR 2 est une
forme linéaire sur IR 2 . Elle est non nulle si (a 1 ,a 2 ) =J (0, 0). Dans ce cas, son
noyau, qui est l'ensemble {(x 1 , x 2 ) E IR 2 ; a 1 x 1 + a 2 x 2 = O} est un espace
vectoriel de dimension 1.
2. Étant donnés deux vecteurs a = (ai, a 2 , a 3 ) et b = (bi, b 2 , b 3 ) dans IR 3 , les
deux applications (x 1 , x 2 , x 3 ) E IR 3 1-+ a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 E 1R et
(x 1 ,x 2 ,x 3 ) E IR 3 1-+ b 1 x 1 + b 2 x 2 + b 3 x 3 E 1R sont deux formes linéaires sur IR 3 .
Elles sont indépendantes si les 2 vecteurs a et b sont indépendants. La proposition 8.15 indique que l'ensemble
est un espace vectoriel de dimension 1.
Le théorème de Gauss
Le premier exemple de forme quadratique en dimension finie que l'on a vu
p. 450 est l'application x E IR 3 1-+ xf + x� + x5. Sur IR 4 , on a introduit la forme
quadratique de Lorentz définie par x E IR 4 1-+ xf + x� + x5 - c 2 x�. Ces deux
formes quadratiques sont des sommes de formes quadratiques « simples » du
type X E !R
n
1-+ xr. La forme quadratique sur IR 2 définie par q : X E IR 2 1-+ 4x 1 x 2
n'a pas, semble-t-il, cette structure. Néanmoins, pour tout (x 1 , x 2 ) E IR 2 en
écrivant 4x 1 x 2 = (x 1 +x 2 ) 2 - (x 1 - x 2 ) 2 on en déduit que la forme quadratique q
peut aussi s'écrire comme la somme de « carrés ». Ce résultat se généralise à
toutes les formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie et la
méthode pour déterminer la décomposition est appelée la méthode de Gauss.
Nous allons maintenant décrire cette méthode.
Nous avons établi à la p. 453 que toute forme quadratique sur un IR-espace
vectoriel Ede dimension n peut s'écrire sous la forme <4 8>
n
n
n
q (x) = L aii xf + L L % X i X j,
i=l
i=l j=i+l
chaque ai j , (i, j) E {1, ... , n } 2 désignant un nombre réel et les xi , i E {1, ... , n}
désignant les coefficients de x E E dans une base fixée de E.
<4 8> Par rapport à la décomposition de la p. 453 , on a adopté ici le changement de notation
aij au lieu de 2a;j pour i < j.
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2. Il existe un résultat plus général que celui énoncé dans la proposition 8.15
(mais qui ne sera pas utilisé dans ce cours) affirmant que tout sous-espace vectoriel de dimension n - r d'un espace vectoriel de dimension n est l'intersection
de r noyaux de formes linéaires indépendantes. Par exemple, tout hyperplan
est le noyau d'une forme linéaire non nulle.
o
.Exemples
1. L'application (xi, x 2 ) E IR 2 1-+ a 1 x 1 + a 2 x 2 E lR où (a 1 , a 2 ) E IR 2 est une
forme linéaire sur IR 2 . Elle est non nulle si (a 1 ,a 2 ) =J (0, 0). Dans ce cas, son
noyau, qui est l'ensemble {(x 1 , x 2 ) E IR 2 ; a 1 x 1 + a 2 x 2 = O} est un espace
vectoriel de dimension 1.
2. Étant donnés deux vecteurs a = (ai, a 2 , a 3 ) et b = (bi, b 2 , b 3 ) dans IR 3 , les
deux applications (x 1 , x 2 , x 3 ) E IR 3 1-+ a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 E 1R et
(x 1 ,x 2 ,x 3 ) E IR 3 1-+ b 1 x 1 + b 2 x 2 + b 3 x 3 E 1R sont deux formes linéaires sur IR 3 .
Elles sont indépendantes si les 2 vecteurs a et b sont indépendants. La proposition 8.15 indique que l'ensemble
est un espace vectoriel de dimension 1.
Le théorème de Gauss
Le premier exemple de forme quadratique en dimension finie que l'on a vu
p. 450 est l'application x E IR 3 1-+ xf + x� + x5. Sur IR 4 , on a introduit la forme
quadratique de Lorentz définie par x E IR 4 1-+ xf + x� + x5 - c 2 x�. Ces deux
formes quadratiques sont des sommes de formes quadratiques « simples » du
type X E !R
n
1-+ xr. La forme quadratique sur IR 2 définie par q : X E IR 2 1-+ 4x 1 x 2
n'a pas, semble-t-il, cette structure. Néanmoins, pour tout (x 1 , x 2 ) E IR 2 en
écrivant 4x 1 x 2 = (x 1 +x 2 ) 2 - (x 1 - x 2 ) 2 on en déduit que la forme quadratique q
peut aussi s'écrire comme la somme de « carrés ». Ce résultat se généralise à
toutes les formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie et la
méthode pour déterminer la décomposition est appelée la méthode de Gauss.
Nous allons maintenant décrire cette méthode.
Nous avons établi à la p. 453 que toute forme quadratique sur un IR-espace
vectoriel Ede dimension n peut s'écrire sous la forme <4 8>
n
n
n
q (x) = L aii xf + L L % X i X j,
i=l
i=l j=i+l
chaque ai j , (i, j) E {1, ... , n } 2 désignant un nombre réel et les xi , i E {1, ... , n}
désignant les coefficients de x E E dans une base fixée de E.
<4 8> Par rapport à la décomposition de la p. 453 , on a adopté ici le changement de notation
aij au lieu de 2a;j pour i < j.