Algèbre bilinéaire
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� Pour montrer que l'application est un isomorphisme, commençons par
remarquer que l'application est linéaire : pour tous (À, µ) E JR 2 et (x, y) E E 2 ,
(Àx +µy) est l'application qui à une forme linéaire f E E* associe le réel
f(Àx +µy). Ainsi pour toute application linéaire f, on a
(Àx + µy)(f) = f (Àx +µy) = V (x) + µf(y)
= .X (x)(f) + µ(y)(f) = ( .X (x) + µ(y)) (f),
autrement dit, (Àx +µy) = À(x) + µ(y).
Montrons ensuite que l'application est injective c44l : si (x) = 0 alors pour
toute application linéaire f E E*, on a f (x) = O. D'après la proposition 8.13,
cela implique que x = 0 : l'application est donc bien injective.
Les dimensions des espaces vectoriels E et (E*)* étant identiques, on en déduit
que est une application linéaire bijective, et par conséquent un isomorphisme
de E sur (E*)*.
� La famille U i , ... , f� ) est une base de l'espace vectoriel (E*)*, en utilisant
l'isomorphisme , la famille { - 1 (f i ), ... , - 1 (!�)} est c45l une base de l'espace
vectoriel E. Il ne reste plus qu'à montrer que cette base vérifie la condition
donnée dans la proposition 8.14, i.e. à montrer que
Vi E {l, ... ,n} (- 1 Un) * =k
Soit i E { 1, ... , n} un entier fixé. Pour montrer que les deux formes linéaires
( - 1 un ) * et fi sont égales, il suffit de prouver qu'elles agissent de la même
façon sur une base donnée de E. Considérant la base (- 1 (f i ), ... , - 1 (!�))
de E, il suffit donc de montrer que :
Tout d'abord, par définition d'une base duale, on a
(13)
D'autre part, par définition de l'application , on a (x)(f) = f (x) pour tous
x E E et f E E*. En particulier, pour x = - 1 (fj) et pour f = fi on a
(- 1 (fj))(fü = fi (- 1 (fj )). On obtient donc
(14)
Les relations ( 13) et (14) établissent la relation (12) et termine la démonstration.
0
<44) Rappelons que pour établir qu'une application L linéaire entre deux espaces vectoriels E
et F est injective, il faut montrer que le seul vecteur x E E tel que L(x) = OF est le
vecteur nul de E, voir la proposition 9.7 p. 367 du Cours de première année.
(45) Voir le Cours de première année p. 372.