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Formes bilinéaires et formes quadratiques
PROPOSITION 8.12 Soient E un espace vectoriel de dimension finie et
B = (e1, ... , en) une base de E. La famille de formes linéaires {ei , ... , e�}
définie par
\/(i,j) E {1, . .. , n} 2 ej (ei) = Ôij ·
est une base de E*. Cette base est appelée la base duale de B.
Le principe des méthodes dite «par dualité » est d'obtenir des informations
sur un vecteur x E E à partir des images de ce vecteur par des formes linéaires
sur E. La proposition suivante en est l'illustration.
PROPOSITION 8.13 Soit x un élément d'un espace vectoriel E de dimension
finie. On a l'équivalence
( \;/f E E* f(x) = 0) � x =O.
Démonstration Considérons une base ( e1, ... , en) de E et désignons par x 1 ,
x 2 , ... , Xn les composantes de x dans cette base. Par définition des formes
linéaires e; , on a e; (x) = Xi pour tout i E {1, . . .,n}. Si pour toute forme
linéaire f E E* on a f(x) = 0 alors en considérant le cas particulier des formes
linéaires e; on obtient ei(x) = 0 pour tout i E {1, ... , n}. Comme ei(x) =xi,
toutes les composantes de x sont nulles et par conséquent x = O. La réciproque
est évidente <43> : l'image du vecteur nul par une forme linéaire est le réel O. D
Nous avons construit, pour toute base de E, une base de E* appelée base duale.
La proposition suivante montre qu'inversemen�, à partir d'une base f3 de E*,
il est possible de trouver une base de E dont B est la base duale.
PROPOSITION 8.14 Soient E un espace vectoriel de dimension finie et
f3 = (! 1 , ... , fn l qui est une base de E*. Il existe une base B = (e1, ... , e,.)
de E telle que B soit la base duale de B, c'est-à-dire telle que
\;/i E {l, ... ,n} fi = ei.
Démonstration Puisque B est une base de l'espace vectoriel E*, en utilisant
la proposition 8.12, on peut construire U i , . .. , f� ) la base duale de f3 qui est
une base de l'espace vectoriel (E*)*. Montrons que l'application
: E � (E*)*
x t--- -+ 'Px où 'Px : f E E* t---7 f (x) E lR
est un isomorphisme, c'est-à-dire une application linéaire bijective. Cela établira
que les deux espaces vectoriels E et (E*)* sont isomorphes.
<43> Voir le Cours de première année p. 355.
Formes bilinéaires et formes quadratiques
PROPOSITION 8.12 Soient E un espace vectoriel de dimension finie et
B = (e1, ... , en) une base de E. La famille de formes linéaires {ei , ... , e�}
définie par
\/(i,j) E {1, . .. , n} 2 ej (ei) = Ôij ·
est une base de E*. Cette base est appelée la base duale de B.
Le principe des méthodes dite «par dualité » est d'obtenir des informations
sur un vecteur x E E à partir des images de ce vecteur par des formes linéaires
sur E. La proposition suivante en est l'illustration.
PROPOSITION 8.13 Soit x un élément d'un espace vectoriel E de dimension
finie. On a l'équivalence
( \;/f E E* f(x) = 0) � x =O.
Démonstration Considérons une base ( e1, ... , en) de E et désignons par x 1 ,
x 2 , ... , Xn les composantes de x dans cette base. Par définition des formes
linéaires e; , on a e; (x) = Xi pour tout i E {1, . . .,n}. Si pour toute forme
linéaire f E E* on a f(x) = 0 alors en considérant le cas particulier des formes
linéaires e; on obtient ei(x) = 0 pour tout i E {1, ... , n}. Comme ei(x) =xi,
toutes les composantes de x sont nulles et par conséquent x = O. La réciproque
est évidente <43> : l'image du vecteur nul par une forme linéaire est le réel O. D
Nous avons construit, pour toute base de E, une base de E* appelée base duale.
La proposition suivante montre qu'inversemen�, à partir d'une base f3 de E*,
il est possible de trouver une base de E dont B est la base duale.
PROPOSITION 8.14 Soient E un espace vectoriel de dimension finie et
f3 = (! 1 , ... , fn l qui est une base de E*. Il existe une base B = (e1, ... , e,.)
de E telle que B soit la base duale de B, c'est-à-dire telle que
\;/i E {l, ... ,n} fi = ei.
Démonstration Puisque B est une base de l'espace vectoriel E*, en utilisant
la proposition 8.12, on peut construire U i , . .. , f� ) la base duale de f3 qui est
une base de l'espace vectoriel (E*)*. Montrons que l'application
: E � (E*)*
x t--- -+ 'Px où 'Px : f E E* t---7 f (x) E lR
est un isomorphisme, c'est-à-dire une application linéaire bijective. Cela établira
que les deux espaces vectoriels E et (E*)* sont isomorphes.
<43> Voir le Cours de première année p. 355.