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Topologie dans un espace métrique
Démonstration !'.:: Si A est inclus dans B alors Int (A) qui est inclus dans A
est inclus dans B. Or Int (A) est un ouvert et Int (B) est le plus grand ouvert
inclus dans B. On a donc nécessairement Int (A) c Int (B).
!'.:: D'une part, Int (A n B) est un ouvert qui est inclus dans An B. Il est donc
inclus dans A (resp. dans B). Comme Int (A) (resp. Int (B)) est le plus grand
ouvert inclus dans A (resp. B) on a Int (A n B) c Int (A) (resp. Int (A n B) c
Int (B)). On en déduit que Int (A n B) c Int (A) n Int (B). D'autre part,
Int (A)nlnt (B) est un ouvert (c'est l'intersection de deux ouverts) qui est inclus
dans AnB car Int (A) c A et Int (B) c B. Comme Int (A n B) est le plus grand
ouvert inclus dans An Bon en déduit que Int (A) n In t (B) c Int (A n B).
!'.:: Int (A) Ulnt (B) est un ouvert (c'est la réunion de deux ouverts) qui est inclus
dans AU B. Comme Int (A U B) est le plus grand ouvert inclus dans AU B, on
a nécessairement Int (A) U Int (B) C Int (A U B).
0
1 On n'a pas nécessairement Int (A) U Int (B) = Int (A U B). Prenons par
exemple A = [O, 1[ et B = [1, 2] ; on a Int (A) =]0, 1[ et Int (B) =]1, 2[ et
par conséquent Int (A) U Int (B) =]0, 2[\{1} alors que AU B = [O, 2] et
Int (A U B) =]0, 2[.
. .. . .
. . .. .
. .. .
Fig. 7 Exemple d'un ensemble A de IR 2 (à gauche en grisé),
de son intérieur (au centre) et de son adhérence (à droite). On
matérialise par des traits pleins l'appartenance à l'ensemble et
par des pointillés la non-appartenance.
DÉFINITION 7.9 (Adhérence)
Soient (E, d) un espace métrique, A un sous-ensemble non vide de E et xo
un élément de E.
)( On dit que xo est un point adhérent à A si toute boule ouverte de centre xo
contient au moins un élément de A, i.e. si
\:/r E JR.� 3y E A d(y, xo ) < r.
L'ensemble des points adhérents à A est noté A et est appelé adhérence de A.
)(On dit que xo est un point d'accumulation de A si toute boule ouverte de
centre x0 contient au moins un élément de A autre que x0.