Espaces métriques et espaces vectoriels normés
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Remarques
1 . D'après la définition 7.6, xo est un point adhérent à A si et seulement si
tout voisinage de xo contient au moins un élément de A et xo est un point
d'accumulation de A si et seulement si tout voisinage de x0 contient au moins
un élément de A autre que xo.
2. Un point d'accumulation de A est un point adhérent à A mais la réciproque
est fausse. Un point adhérent à l'ensemble A qui n'est pas un po int d'accumulation est appelé un point isolé.
3. L'adhérence d'un sous-ensemble non vide A de E est l'intersection de tous les
fermés qui contiennent A (c'est donc un f � mé). Il s'agit du plus petit ensemble
fermé contenant A; on a donc Ac A et A= A. De plus, v o ir l'exercice 7.9,
1 A est fermé si et seulement si A = A. I
4. On appelle frontière d'un sous-ensemble A de E et on note Fr(A) l'ensemble
des éléments de E qui appartiennent à l'adhérence de A mais pas à l'intérieur
de A, i.e. Fr( A) = A\ Int (A) . On montre que Ft(A) = An CE A autrement
dit que les éléments de la frontière de A sont les points qui sont adhérents à A
et à son complémentaire. Comme il s'agit de l'intersectio n de deux fermés, la
frontière de A est un ensemble fermé.
o
Exercice 7.9 Soient (E, d) un espace métrique et A un sous-ensemble
non vide de E.
1 - Montrer que A c A mais qu'en général il n'y a pas égalité de ces
ensembles.
2 - a) Montrer que si A est fermé alors A= A.
b) Montrer que si A = A alors A est fermé.
On a également les propriétés suivantes.
PROPOSITION 7.11 Soient (E, d) un espace métrique et A et B deux sousen sembles non vides de E.
1. CE A = CEi nt (A) et Int (CE A) = CEA;
2. A c B ===} A c B ;
3.AUB = AUB;
4.An BcAnB.
Démonstration � Montrons que CE A = CEi nt (A). Un élé ment x appartient
à CEi nt (A) s'il n'appartient pas à Int (A), on a donc c43>
x E CEi nt (A) {=::} Vr E JR� B(x, r) i A
{=::}
Vr E JR� 3y E B(x, r) y 1. A.
(43> Il s'agit de la négation de l'assertion 3r E IR'.f. B(x, r) c A traduisant que x E Int (A).