Espaces métriques et espaces vectoriels normés
7.3.2 Intérieur et adhérence d'un ensemble
DÉFINITION 7.8 (Intérieur)
377
Soient (E, d) un espace métrique, A un sous-ensemble non vide de E et xo
un élément de E.
X On dit que Xo est un point intérieur à A si A est un voisinage de Xo.
Autrement dit, si
3r E �� B(xo, r) c A.
X L 'ensemble des points intérieurs à A est noté Int(A) ou A et est appelé
intérieur de A.
Remarques
1. L'intérieur "d 'un sous-ensemble A de E est un ensemble ouvert. Pour le
montrer, il faut vérifier que pour tout x0 E Int (A), il existe r E �+ tel que
B(xo, r) C Int (A). D'après la définition 7.8, pour tout xo E Int (A), il existe
r E �+ tel que B(xo, r) C A. Or B(xo, r) est un ouvert, donc pour tout
x E B(xo,r) il existe p E �+ tel que B(x,p) C B(xo, r) . Ceci implique en
particulier que B(x, p) c A et par conséquent que x est un point intérieur à A.
On a donc bien B(xo, r) C Int (A).
2. L'intérieur d'un sous-ensemble A de E est le plus grand ouvert contenu
dans A. Considérons en effet un ouvert 0 contenu dans A; pour tout x E 0, il
existe r E �+ tel que B(x, r) c 0 et par conséquent tel que B(x, r) c A. Cela
signifie que x E Int (A) et donc que 0 c Int (A). Ainsi, Int (A) est un ouvert
et tout ouvert inclus dans A est inclus dans Int (A); c'est donc que Int (A)
est le plus grand ouvert contenu dans A. On en déduit que Int (A) c A et
Int (Int (A)) = Int (A). De plus, A est ouvert si et seulement si Int (A) =A.
3. L'intérieur d'un sous-ensemble A de E est la réunion de tous les ouverts
contenus dans A. En effet, la réunion X de tous les ouverts contenus dans A
contient l'ouvert Int (A) et est un ouvert inclus dans A; on a donc Int (A) C X.
Par ailleurs, comme Int (A) est le plus grand ouvert contenu dans A on a
également X C Int (A). Ainsi, X= Int (A).
o
On a également les propriétés suivantes.
PROPOSITION 7.10 Soient (E, d) un espace métrique et A et B deux sousensembles non vides de E.
1. Ac B ===? Int (A) c Int (B);
2. Int (An B) = Int (A) n Int (B);
3. Int (A) U Int (B) c Int (AU B).
7.3.2 Intérieur et adhérence d'un ensemble
DÉFINITION 7.8 (Intérieur)
377
Soient (E, d) un espace métrique, A un sous-ensemble non vide de E et xo
un élément de E.
X On dit que Xo est un point intérieur à A si A est un voisinage de Xo.
Autrement dit, si
3r E �� B(xo, r) c A.
X L 'ensemble des points intérieurs à A est noté Int(A) ou A et est appelé
intérieur de A.
Remarques
1. L'intérieur "d 'un sous-ensemble A de E est un ensemble ouvert. Pour le
montrer, il faut vérifier que pour tout x0 E Int (A), il existe r E �+ tel que
B(xo, r) C Int (A). D'après la définition 7.8, pour tout xo E Int (A), il existe
r E �+ tel que B(xo, r) C A. Or B(xo, r) est un ouvert, donc pour tout
x E B(xo,r) il existe p E �+ tel que B(x,p) C B(xo, r) . Ceci implique en
particulier que B(x, p) c A et par conséquent que x est un point intérieur à A.
On a donc bien B(xo, r) C Int (A).
2. L'intérieur d'un sous-ensemble A de E est le plus grand ouvert contenu
dans A. Considérons en effet un ouvert 0 contenu dans A; pour tout x E 0, il
existe r E �+ tel que B(x, r) c 0 et par conséquent tel que B(x, r) c A. Cela
signifie que x E Int (A) et donc que 0 c Int (A). Ainsi, Int (A) est un ouvert
et tout ouvert inclus dans A est inclus dans Int (A); c'est donc que Int (A)
est le plus grand ouvert contenu dans A. On en déduit que Int (A) c A et
Int (Int (A)) = Int (A). De plus, A est ouvert si et seulement si Int (A) =A.
3. L'intérieur d'un sous-ensemble A de E est la réunion de tous les ouverts
contenus dans A. En effet, la réunion X de tous les ouverts contenus dans A
contient l'ouvert Int (A) et est un ouvert inclus dans A; on a donc Int (A) C X.
Par ailleurs, comme Int (A) est le plus grand ouvert contenu dans A on a
également X C Int (A). Ainsi, X= Int (A).
o
On a également les propriétés suivantes.
PROPOSITION 7.10 Soient (E, d) un espace métrique et A et B deux sousensembles non vides de E.
1. Ac B ===? Int (A) c Int (B);
2. Int (An B) = Int (A) n Int (B);
3. Int (A) U Int (B) c Int (AU B).