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To pologie dans un espace métrique
On en déduit que d(x, xo) > ro ce qui signifie que tous les éléments x de
B(x1, ri ) appartiennent à CB(xo, ro) et ceci quel que soit le choix de x1 dans
CB(x 0 , r 0 ). L'ensemble CB(xo, ro) est donc bien un ensemble ouvert ce qui
implique que la boule fermée B(xo, ro) est un ensemble fermé.
0
1 La notion d'ensemble ouvert dans un espace métrique (E, d) dépend de la
distance d. En général, un même ensemble E possède des sous-ensembles
ouverts et fermés différents si on le munit successivement de deux distances
différentes.
Les ouverts définis sur un ensemble E par une distance d, forment ce qui est
appelé la « topologie » induite par la distance d. Deux distances d et o définissent la même topologie sur E si les sous-ensembles qui sont ouverts pour d le
•
'
•
< 40 > D
d'
l d d'
sont aussi pour u, et inversement . ans ce cas on it que es eux istances
sont « topologiquement équivalentes ».
La proposition suivante indique que deux distances d et o, équivalentes au sens
de la définition 7.2, sont topologiquement équivalentes et induisent la même
topologie sur E (les ensembles ouverts dans (E, d) et (E, o) sont les mêmes) .
PROPOSITION 7.8 Soient (E, d) un espace métrique et A un sous-ensemble
de E, ouvert dans (E, d) . Si o est une distance équivalente à d alors A est
aussi un ouvert dans (E, o).
Démonstration Pour montrer que A est un ouvert dans (E, o), il faut montrer
qu'étant donné un élément x de A, on peut trouver un réel p strictement positif
tel que la boule Bô (x,p) soit incluse dans A. D'après la définition 7.7, puisque A
est ouvert dans (E, d) ,
3r E �� \:/y E E (d(x, y) < r ::=::: :} y E A) .
Comme d et o sont deux distances équivalentes, il existe C E �� tel que
d(x, y) :::; ; C o(x, y) . On en déduit que si o(x, y) < r/C alors d(x, y) < r et
y E A. On en conclut qu'en prenant p = r/C, on a
\:/y E E (o(x, y) < p ::=::: :} y E A) ,
autrement dit que la boule Bô(x, p) est incluse dans A.
0
Un corollaire de la proposition 7.8 est que si un ensemble est fermé dans (E, d)
alors il est fermé dans E muni d'une distance équivalente à d.
La proposition 7.8 n'admet pas de réciproque : deux distances peuvent être
topologiquement équivalentes sans être équivalentes au sens de la définition 7.2.
Par exemple, sur � la distance d : (x, y) E � 2 i--. 1 arctan(x) - arctan(y) I
( 40 ) Dans ce cas les ensembles fermés sont aussi les mêmes puisqu'ils sont définis comme
complémentaires d'ensembles ouverts.
To pologie dans un espace métrique
On en déduit que d(x, xo) > ro ce qui signifie que tous les éléments x de
B(x1, ri ) appartiennent à CB(xo, ro) et ceci quel que soit le choix de x1 dans
CB(x 0 , r 0 ). L'ensemble CB(xo, ro) est donc bien un ensemble ouvert ce qui
implique que la boule fermée B(xo, ro) est un ensemble fermé.
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1 La notion d'ensemble ouvert dans un espace métrique (E, d) dépend de la
distance d. En général, un même ensemble E possède des sous-ensembles
ouverts et fermés différents si on le munit successivement de deux distances
différentes.
Les ouverts définis sur un ensemble E par une distance d, forment ce qui est
appelé la « topologie » induite par la distance d. Deux distances d et o définissent la même topologie sur E si les sous-ensembles qui sont ouverts pour d le
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d'
l d d'
sont aussi pour u, et inversement . ans ce cas on it que es eux istances
sont « topologiquement équivalentes ».
La proposition suivante indique que deux distances d et o, équivalentes au sens
de la définition 7.2, sont topologiquement équivalentes et induisent la même
topologie sur E (les ensembles ouverts dans (E, d) et (E, o) sont les mêmes) .
PROPOSITION 7.8 Soient (E, d) un espace métrique et A un sous-ensemble
de E, ouvert dans (E, d) . Si o est une distance équivalente à d alors A est
aussi un ouvert dans (E, o).
Démonstration Pour montrer que A est un ouvert dans (E, o), il faut montrer
qu'étant donné un élément x de A, on peut trouver un réel p strictement positif
tel que la boule Bô (x,p) soit incluse dans A. D'après la définition 7.7, puisque A
est ouvert dans (E, d) ,
3r E �� \:/y E E (d(x, y) < r ::=::: :} y E A) .
Comme d et o sont deux distances équivalentes, il existe C E �� tel que
d(x, y) :::; ; C o(x, y) . On en déduit que si o(x, y) < r/C alors d(x, y) < r et
y E A. On en conclut qu'en prenant p = r/C, on a
\:/y E E (o(x, y) < p ::=::: :} y E A) ,
autrement dit que la boule Bô(x, p) est incluse dans A.
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Un corollaire de la proposition 7.8 est que si un ensemble est fermé dans (E, d)
alors il est fermé dans E muni d'une distance équivalente à d.
La proposition 7.8 n'admet pas de réciproque : deux distances peuvent être
topologiquement équivalentes sans être équivalentes au sens de la définition 7.2.
Par exemple, sur � la distance d : (x, y) E � 2 i--. 1 arctan(x) - arctan(y) I
( 40 ) Dans ce cas les ensembles fermés sont aussi les mêmes puisqu'ils sont définis comme
complémentaires d'ensembles ouverts.