Espaces métriques et espaces vectoriels normés
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n'est pas équivalente à la distance usuelle ô : (x, y) E JR 2 r-> l x - y l , voir
p. 352. Toutefois, ces deux distances sont topologiquement équivalentes : on
peut montrer que les ensembles ouverts dans lR muni de la distance d sont
également les ensembles ouverts dans lR muni de la distance ô.
Remarques
1. Le cas des espaces vectoriels normés est un peu particulier. Les distances
associées à deux normes qui ne sont pas équivalentes ne peuvent pas engendrer
une même topologie.
2. Pour montrer que deux topologies induites sur un ensemble E par deux
distances d et ô sont distinctes, il suffit de montrer qu'un sous-ensemble de E
est ouvert (ou fermé, ou ni ouvert ni fermé) avec l'une des distances mais pas
avec l'autre.
o
LEMME 7.1 Tout ouvert d'un espace métrique (E, d) est réunion de boules
ouvertes.
Démonstration Si A est un ensemble non vide et ouvert dans l'espace métrique (E, d) , on peut associer, par définition, à tout élément a de A un réel
ra > 0 tel que B(a, ra) C A. On a donc UaEA B(a, ra) C A.
Par ailleurs, puisque a E B(a,ra) on a aussi A= UaEA {a} C UaEA B(a,ra) ·
On en déduit que A= UaEA B(a, ra)·
D
D'un point de vue pratique, comme tout ensemble ouvert est réunion de boules
ouvertes, pour étudier les propriétés topologiques d'un espace métrique, on peut
sé contenter de considérer les boules ouvertes de cet espace.
La proposition suivante indique que le lemme 7.1 admet une réciproque : la
réunion de boules ouvertes est un ouvert.
PROPOSITION 7.9 (Union et intersection d'ouverts ou de fermés)
.
(41)
X L'union d'un nombre quelconque d'ensembles ouverts est un ensemble ouvert. L'intersection d'un nombre fini d'ensembles ouverts est un ensemble
ouvert.
X L'intersection d'un nombre quelconque d'ensembles fermés est un ensemble
fermé. L'union d'un nombre fini d'ensembles fermés est un ensemble fermé.
Démonstration � Soit (Oi)iEI (I C JR) une famille (non nécessairement dénombrable) d'ensembles ouverts et soit 0 la réunion de ces ensembles. Un
élément x quelconque de 0 appartient nécessairement à au moins un des ensembles oi. Supposons que X appartienne à l'ensemble oio, voir le dessin de
gauche de la figure 6. Comme Oio est un ensemble ouvert, on peut trouver
< 41 > Fini, dénombrable ou infini n:on dénombrable.
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n'est pas équivalente à la distance usuelle ô : (x, y) E JR 2 r-> l x - y l , voir
p. 352. Toutefois, ces deux distances sont topologiquement équivalentes : on
peut montrer que les ensembles ouverts dans lR muni de la distance d sont
également les ensembles ouverts dans lR muni de la distance ô.
Remarques
1. Le cas des espaces vectoriels normés est un peu particulier. Les distances
associées à deux normes qui ne sont pas équivalentes ne peuvent pas engendrer
une même topologie.
2. Pour montrer que deux topologies induites sur un ensemble E par deux
distances d et ô sont distinctes, il suffit de montrer qu'un sous-ensemble de E
est ouvert (ou fermé, ou ni ouvert ni fermé) avec l'une des distances mais pas
avec l'autre.
o
LEMME 7.1 Tout ouvert d'un espace métrique (E, d) est réunion de boules
ouvertes.
Démonstration Si A est un ensemble non vide et ouvert dans l'espace métrique (E, d) , on peut associer, par définition, à tout élément a de A un réel
ra > 0 tel que B(a, ra) C A. On a donc UaEA B(a, ra) C A.
Par ailleurs, puisque a E B(a,ra) on a aussi A= UaEA {a} C UaEA B(a,ra) ·
On en déduit que A= UaEA B(a, ra)·
D
D'un point de vue pratique, comme tout ensemble ouvert est réunion de boules
ouvertes, pour étudier les propriétés topologiques d'un espace métrique, on peut
sé contenter de considérer les boules ouvertes de cet espace.
La proposition suivante indique que le lemme 7.1 admet une réciproque : la
réunion de boules ouvertes est un ouvert.
PROPOSITION 7.9 (Union et intersection d'ouverts ou de fermés)
.
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X L'union d'un nombre quelconque d'ensembles ouverts est un ensemble ouvert. L'intersection d'un nombre fini d'ensembles ouverts est un ensemble
ouvert.
X L'intersection d'un nombre quelconque d'ensembles fermés est un ensemble
fermé. L'union d'un nombre fini d'ensembles fermés est un ensemble fermé.
Démonstration � Soit (Oi)iEI (I C JR) une famille (non nécessairement dénombrable) d'ensembles ouverts et soit 0 la réunion de ces ensembles. Un
élément x quelconque de 0 appartient nécessairement à au moins un des ensembles oi. Supposons que X appartienne à l'ensemble oio, voir le dessin de
gauche de la figure 6. Comme Oio est un ensemble ouvert, on peut trouver
< 41 > Fini, dénombrable ou infini n:on dénombrable.