Espaces métriques et espaces vectoriels normés
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On en conclut que dE(z1 , z 2 ) est strictement positif ce qui implique que z1 est
nécessairement distinct de z 2 .
Un ensemble peut être ni ouvert ni fermé. Contrairement à son sens dans le
langage courant, « fermé » n'est pas le contraire d' « ouvert ». Par ailleurs,
un ensemble peut être à la fois ouvert et fermé. Par exemple, dans JR. n muni
de la distance discrète (voir p. 346) , la boule ouverte B(xo, 1) est réduite
au singleton { xo} qui est un ouvert et un fermé pour cette distance.
PROPOSITION 7. 7 Dans un espace métrique (E, d), toute boule ouverte est
un ensemble ouvert et toute boule fermée est un ensemble ferm l 38) .
Démonstration � Considérons la boule ouverte B(xo, ro) où xo E E et
r 0 E JR.+ et un élément x1 quelconque de B(xo, ro) ; il s'agit de montrer que l'on
peut trouver une boule ouverte de centre x1 incluse dans B(xo, ro), voir le dessin de gauche de la figure 5. Si r1 = ro - d( X1 , xo) alors pour tout x E B ( x1 , r1),
1,. , l ' t , .
1 . (3 9 )
d
mega 1 e tnangu aire nous onne :
d(x, xo) � d(x, x1) + d(x1, xo) < r1 + d(x1, xo) = ro.
Cela signifie que tous les éléments x de B(x1, r1) appartiennent à B(xo, ro)
et ceci quel que soit le choix de x1 dans B(xo, ro). D'après la définition 7.7,
l'ensemble B(xo, ro) est un ensemble ouvert .
,,
,.
I
I
'
'
...
...
'
\
... ... - .... \
xo ' x1 ,' 1
.... .. ._ x•
\ r � 1
' - � I
ro
,.
,,
.... - - ....
, xo
ro
Fig. 5 Les deux situations considérées.
� Considérons la boule fermée B(xo, ro) où Xo E E et ro E JR.+. Pour montrer
que B(xo, ro) est un ensemble fermé, il faut montrer que son complémentaire
CB(xo, ro) est un ensemble ouvert de E. Considérons un élément x1 quelconque
de CB(x 0 , r 0 ) ; il s'agit de montrer que l'on peut trouver une boule ouverte de
centre x1 incluse dans CB(x 0 , r 0 ), voir le dessin de droite de la figure 5. Soit
r1 = d(x1 , xo) -ro ; pour tout x E B(x1, r1), l'inégalité triangulaire nous donne :
d(x i , xo) � d(xi , x) + d(x, xo) < r i + d(x, xo) = d(xi , xo) - ro + d(x, xo).
(3B)
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(3 9 ) •
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V01r la défimt10n 7.1 p. 345.