CHAPITRE 7
Espaces métriques et espaces
vectoriels normés
7.1 Distance et espace métrique
Nous avons étudié dans l e cours de première année l a notion de limite et de
continuité pour les fonctions de l a variable réelle ainsi que l a notion de convergence pour les suites numériques réelles. On a pu constater qu' intervenait de
façon prépondérante dans leur définition et dans l' étude de leurs propriétés la
notion de distance entre deux nombres réels. Cette distance entre deux nombres
réels x et y définie à l'aide de la valeur absolue par lx -yl possède les propriétés
suivantes : c' est une quantité positive qui est nulle si et seulement si les deux
réels i; ont égaux, elle est symétrique (la distance lx - yl entre x et y est la même
que celle IY - xi entre y et x) et la distance entre x et y est toujours inférieure
à celle séparant x et z d' une part et z et y d' autre part (c' est l' inégalité triangulaire lx - Y I � lx - z l + lz - yl). Nous avons par ailleurs pu constater que la
notion de limite et de continuité pour les fonctions de la variable complexe ainsi
que la notion de convergence pour les suites numériques complexes étaient également basées sur la notion de distance entre deux nombres complexes. Cette
distance définie à l' aide du module possédait des propriétés analogues à celles
énumérées ici pour la distance entre réels.
Ces constatations motivent l' introduction d' une notion générale de distance sur
un ensemble quelconque afin de pouvoir définir la notion de limite pour une
fonction définie sur un ensemble autre que R ou
d' une suite sur un tel ensemble.
DÉFINITION 7.1 On appelle distance sur un ensemble E non vide toute application d de E 2 dans R qui vérifie les conditions suivantes c1>
1. 'V(x, y) E E 2 d(x, y) ;;:: 0;
2. V(x, y) E E 2 (d(x, y) = 0 {::: ::> x = y) ;
3. 'V(x, y) E E 2 d(x, y) = d(y, x) ;
4. 'V(x, y, z) E E3 d(x, y) � d(x, z) + d(z, y) .
Un ensemble E muni d'une distance d est appelé un espace métrique et est
noté (E,d).
Espaces métriques et espaces
vectoriels normés
7.1 Distance et espace métrique
Nous avons étudié dans l e cours de première année l a notion de limite et de
continuité pour les fonctions de l a variable réelle ainsi que l a notion de convergence pour les suites numériques réelles. On a pu constater qu' intervenait de
façon prépondérante dans leur définition et dans l' étude de leurs propriétés la
notion de distance entre deux nombres réels. Cette distance entre deux nombres
réels x et y définie à l'aide de la valeur absolue par lx -yl possède les propriétés
suivantes : c' est une quantité positive qui est nulle si et seulement si les deux
réels i; ont égaux, elle est symétrique (la distance lx - yl entre x et y est la même
que celle IY - xi entre y et x) et la distance entre x et y est toujours inférieure
à celle séparant x et z d' une part et z et y d' autre part (c' est l' inégalité triangulaire lx - Y I � lx - z l + lz - yl). Nous avons par ailleurs pu constater que la
notion de limite et de continuité pour les fonctions de la variable complexe ainsi
que la notion de convergence pour les suites numériques complexes étaient également basées sur la notion de distance entre deux nombres complexes. Cette
distance définie à l' aide du module possédait des propriétés analogues à celles
énumérées ici pour la distance entre réels.
Ces constatations motivent l' introduction d' une notion générale de distance sur
un ensemble quelconque afin de pouvoir définir la notion de limite pour une
fonction définie sur un ensemble autre que R ou
d' une suite sur un tel ensemble.
DÉFINITION 7.1 On appelle distance sur un ensemble E non vide toute application d de E 2 dans R qui vérifie les conditions suivantes c1>
1. 'V(x, y) E E 2 d(x, y) ;;:: 0;
2. V(x, y) E E 2 (d(x, y) = 0 {::: ::> x = y) ;
3. 'V(x, y) E E 2 d(x, y) = d(y, x) ;
4. 'V(x, y, z) E E3 d(x, y) � d(x, z) + d(z, y) .
Un ensemble E muni d'une distance d est appelé un espace métrique et est
noté (E,d).