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Distance et espace métrique
Remarque La première condition de la définition 7.1 est appelée condition
de positivité, la deuxième condition de séparation et la troisième condition de
symétrie ; la quatrième condition est appelée première inégalité triangulaire. o
Exemples
1. L' application d: (x, y) E R 2
x R 2 1-+ J(y1 - x1 ) 2 + ( Y2 - x 2 ) 2 où {x1 ,x 2 ) et
(y1 , y 2 ) désignent respectivement les coordonnées de x et de y est une distance
sur R 2 appelée distance euclidienne dans le plan. Il est clair que l' application
d est à valeurs positives et que la condition de symétrie est satisfaire par d.
De plus, on a d(x, y) = 0 si et seulement si (y1 - x1 ) 2 + (y 2 - x 2 ) 2
= 0; une
somme de termes positifs étant nulle si et seulement si chacun de ses termes
est nulle, l' égalité précédente a lieu uniquement lorsque x1 = Y1 et X2 = Y2 · On
a donc bien d(x, y) = 0 si et seulement si x = y. Il reste à établir l' inégalité
triangulaire pour d. Pour x = (x1 ,x 2 ) ,y = (y1 , Y2 ) et z = (z1 , z2 ) dans R 2 on a
d(x, y) 2
(Y1 - x1 ) 2 + (y2 - x 2 ) 2
=0
=0
�
2
�
2
( (Y1 -z1 ) + (z1 -xi )) + ( (y2 -z2 ) + (z2 -x2 ))
=
(x1 - z1) 2 + (x2 - z2 ) 2 + (y1 - z1) 2 + (Y2 - z2 ) 2
=d(x,z)2
=d(z,y)2
+2 (( y1 - z1) (z1 - x1 ) + (Y2 - z2 )(z2 - x 2 ))
=a
et d' après l' inégalité de Cauchy-Schwarz < 2> , on a
On en déduit que
d(x, y) 2 � d(x, z) 2 + d(z, y) 2 + 2 d(y, z) d(z, x) = ( d(x, z) + d(z, y ) ) 2 ;
comme toutes les quantités sont positives, on a d(x, y) � d(x, z) + d(z, y) .
L' inégalité triangulaire pour d est établie.
2 . On vérifie aisément à partir des propriétés de la valeur absolue que l' application d: (x, y) E R 2
x R 2 1-+ IY1 - X1 1 + IY2 - x 2I où (x1 , x 2 ) et (y1 , Y2 ) désignent
les coordonnées de x et y est également une distance sur R 2 •
3. Si E est un ensemble non vide, l' application d de E 2 dans R+ définie par
d(x, y) = 1 si x =/:-y et 0 si x = y est une distance sur E appelée distance discrète. Cette distance est souvent utilisée pour construire des contre-exemples.
<•> On rappelle que l'on note E2 le produit cartésien de E par E (E2 = E x E). Plus
généralement si n désigne un entier supérieur à 2, on note En le produit cartésien
Ex Ex · · · x E (n fois) .
(Z) Voir la proposition 3 .6 p. 101 du Cours de première année.
Distance et espace métrique
Remarque La première condition de la définition 7.1 est appelée condition
de positivité, la deuxième condition de séparation et la troisième condition de
symétrie ; la quatrième condition est appelée première inégalité triangulaire. o
Exemples
1. L' application d: (x, y) E R 2
x R 2 1-+ J(y1 - x1 ) 2 + ( Y2 - x 2 ) 2 où {x1 ,x 2 ) et
(y1 , y 2 ) désignent respectivement les coordonnées de x et de y est une distance
sur R 2 appelée distance euclidienne dans le plan. Il est clair que l' application
d est à valeurs positives et que la condition de symétrie est satisfaire par d.
De plus, on a d(x, y) = 0 si et seulement si (y1 - x1 ) 2 + (y 2 - x 2 ) 2
= 0; une
somme de termes positifs étant nulle si et seulement si chacun de ses termes
est nulle, l' égalité précédente a lieu uniquement lorsque x1 = Y1 et X2 = Y2 · On
a donc bien d(x, y) = 0 si et seulement si x = y. Il reste à établir l' inégalité
triangulaire pour d. Pour x = (x1 ,x 2 ) ,y = (y1 , Y2 ) et z = (z1 , z2 ) dans R 2 on a
d(x, y) 2
(Y1 - x1 ) 2 + (y2 - x 2 ) 2
=0
=0
�
2
�
2
( (Y1 -z1 ) + (z1 -xi )) + ( (y2 -z2 ) + (z2 -x2 ))
=
(x1 - z1) 2 + (x2 - z2 ) 2 + (y1 - z1) 2 + (Y2 - z2 ) 2
=d(x,z)2
=d(z,y)2
+2 (( y1 - z1) (z1 - x1 ) + (Y2 - z2 )(z2 - x 2 ))
=a
et d' après l' inégalité de Cauchy-Schwarz < 2> , on a
On en déduit que
d(x, y) 2 � d(x, z) 2 + d(z, y) 2 + 2 d(y, z) d(z, x) = ( d(x, z) + d(z, y ) ) 2 ;
comme toutes les quantités sont positives, on a d(x, y) � d(x, z) + d(z, y) .
L' inégalité triangulaire pour d est établie.
2 . On vérifie aisément à partir des propriétés de la valeur absolue que l' application d: (x, y) E R 2
x R 2 1-+ IY1 - X1 1 + IY2 - x 2I où (x1 , x 2 ) et (y1 , Y2 ) désignent
les coordonnées de x et y est également une distance sur R 2 •
3. Si E est un ensemble non vide, l' application d de E 2 dans R+ définie par
d(x, y) = 1 si x =/:-y et 0 si x = y est une distance sur E appelée distance discrète. Cette distance est souvent utilisée pour construire des contre-exemples.
<•> On rappelle que l'on note E2 le produit cartésien de E par E (E2 = E x E). Plus
généralement si n désigne un entier supérieur à 2, on note En le produit cartésien
Ex Ex · · · x E (n fois) .
(Z) Voir la proposition 3 .6 p. 101 du Cours de première année.