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Solutions des exercices
La quantité µ n s' interprète comme la somme de Riemann associée à la fonction
x � sin(x)/x sur l' intervalle [O, 7r] pour une subdivision uniforme de [O, 7r] de
pas h = n : i . Cette somme de Riemann µ n tend vers J;' sin(t)/t dt lorsque n
tend vers +oo, voir le théorème 18.3 p. 868 du Cours de première année.
c) Pour obtenir une valeur approchée de I, on peut avoir recours à MAPLE :
> evalf (lnt (sin(t)/t ,t=O .. Pi));
1.851937052
5 - On a lim n -+ + oo Sn(x) = I:t� sin �
kx)
. Cette série de fonctions est la série
de Fourier associée à f. Nous avons établi à la question 1 que sa somme était
égale à f. On a donc
sup ( lim Sn(x)) = sup f(x) = � :::: :: : 1, 570796327.
x E[0, 1T]
n-++ oo
x E[0 ,1T]
2
Par ailleurs, lim ( sup Sn(x)) = lim µ n = I :::: :: : 1, 851937052.
n-+ + oo :i:E[0,1T]
n-+ + oo
Les sommes partielles S n associées à la série de Fourier de f prennent pour valeur maximale µ n en vo n : i . Cette valeur maximale tend vers
µ :::: :: : 1, 851937052 lorsque n tend vers +oo et la valeur pour laquelle ce maximum est réalisé tend vers O. De plus, l' écart entre cette valeur maximale µn et
la valeur prise par f en vo ne tend pas vers 0 mais vers µ - � :::: :: : 0, 281140725.
L' augmentation de l' ordre n de la somme partielle considérée ne diminue donc
pas l' écart entre f et Sn contrairement à ce que l' intuition pourrait suggérer.
Au contraire, l' écart tend vers une valeur seuil non nulle lorsque l' ordre n de la
somme partielle augmente. Toutefois, l' oscillation s' effectue sur des intervalles
de plus en plus petits puisque vo = n : i tend vers 0 quand n tend vers +oo.
> l1 : =evalf (lnt (sin(t)/t ,t=O .. Pi)) ;
11 := 1.851937052
>f or i in [12 ,24,36] do FScoef (f ,0,2*Pi ,i,a,b,SF[i] ): od :
> g:=x-> 11-x/2 :
> plot ([f,SF[12] ,SF [24] ,SF [36] ,g] ,O .. Pi/8) ;
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0.05 0.1 0. 15 0.2 0.25 0.3 0.35