Séries entières
283
c)
Soit P un polynôme de C[X] de degré p - 1 (p E N*) ; déterminer le
ray on de convergence R de la série entière complexe L n an z n où an = P(n).
d) Montrer t. 1p1 P(n) = 0 pour tout n E N. (On pourra utiliser un raisonnem ent par récurrence portant sur le degré de p.)
e) En utilisant la formule d' Euler-Abel à l' ordre p, montrer que la somme
de la série L n P(n) z n sur D(O, 1) est
+oo
p- 1
k
�
n � [k]
Z
� P(n) z = � t. P(O) (l
_
z) k+ l .
n=O
k=O
f) Implémenter sous MAPLE un algorithme mettant en oeuvre la formule
d' Euler-Abel pour calculer la somme d' une série entière L n P(n) z n où P désigne un polynôme de C[X] .
283
c)
Soit P un polynôme de C[X] de degré p - 1 (p E N*) ; déterminer le
ray on de convergence R de la série entière complexe L n an z n où an = P(n).
d) Montrer t. 1p1 P(n) = 0 pour tout n E N. (On pourra utiliser un raisonnem ent par récurrence portant sur le degré de p.)
e) En utilisant la formule d' Euler-Abel à l' ordre p, montrer que la somme
de la série L n P(n) z n sur D(O, 1) est
+oo
p- 1
k
�
n � [k]
Z
� P(n) z = � t. P(O) (l
_
z) k+ l .
n=O
k=O
f) Implémenter sous MAPLE un algorithme mettant en oeuvre la formule
d' Euler-Abel pour calculer la somme d' une série entière L n P(n) z n où P désigne un polynôme de C[X] .