284
Solutions des exercices
5.6 Solutions des exercices
SOLUTION DE L'EXERCICE 5.1
1 - La série géométrique alternée L n;;;, l
( - � )n est semi-convergente: On déduit
de la proposition 5.3 que le rayon de convergence de la série entière complexe
L n;;;, l � z n est R = l . Comme 1 = n x � et que le rayon de convergence de la
série entière L n;;;, l � z n est R = 1, on déduit de la proposition 5.2 que le rayon
de convergence de la série entière L n;;;, l z n est R = l . Par ailleurs, comme
� = � x � et que le rayon de convergence de la série entière L n;;;, l � z n est
R = 1, on déduit de la proposition 5.2 que le rayon de convergence de la série
entière L n � z n est R = 1.
2 - Soit z un complexe appartenant au cercle de convergence de ces séries. On a
z = ei9 avec () E [O, 2n [. Sur le cercle de convergence, la série L n z n s'exprime
donc sous la forme L n ei n O. Il s'agit d'une série géométrique de raison p = ei9.
Comme p est de module 1, cette série diverge quelle que soit la valeur de() (voir
p. 3). On en conclut que la série entière L n z n ne converge en aucun point du
cercle de convergence.
Sur le cercle de convergence, la série L n � z n est une série trigonométrique qui
s'exprime sous la forme L n � ei n O. Le théorème 1.5 p. 48 indique que cette série
converge pour tout () E]O, 2n [. Pour () = 0, cette série est la série harmonique
L n � qui diverge.
Sur le cercle de convergence, la troisième série est une série trigonométrique
de la forme � 1 ei nli . Pour tout n E N* on a 1 1 ei n O J = 1 et la série
�n �
�
�
L n � converge. Cette série est donc absolument convergente sur le cercle de
convergence.
SOLUTION DE L'EXERCICE 5.2
1 - Pour n E N*, posons an = nVn ; on a
( ) 1 / n
y'ïi;; = nVn
= n 1 1fo = exp(ln(n)/vn).
Comme limn-++oo ln(n)/ Jn = 0, on a limn-++oo yfciJ = 1 et le rayon de
convergence de la série entière L n;;;, l nVn z n est R = 1.
2 - Pour n E N*, posons an = na ; on a \(a;;, = nai n = exp(o: ln(n)/n). Comme
limn-++oo ln(n)/n = 0, on a limn-++oo \/JaJ = 1 et le rayon de convergence de
la série entière L n;;;, l na z n est R = 1 quel que soit a E N*.
3 - Pour n E N*, posons an = n 1 n( n ) / ln(n) n ; on a
1
1
y'ïi;; = -- n l n( n ) / n = -- exp(ln(n) 2 /n).
ln(n)
ln(n)
Comme limn-++oo ln(n) 2 /n = 0, on a limn-++oo \/JaJ = 0 et le rayon de converd 1 , • " è � n ln(n ) n R
gence e a sene ent1 re �n ;;;, l I n (n) n z est = +oo.