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Exercices de synthèse
1 - a) Calculer le rayon de convergence de la série entière L n � l n'Tr z n .
b) On souhaite approcher S(z) = L�� n'Tr z n pour z = -0.99 par
SN (-0.99) = L: = 1 n7r (-0.99t. Montrer que la série L n � t n'Tr (-0.99)11 satisfait au critère d' Abel pour les séries alternées puis donner un majorant de
I S (-0.99) -SN (-0.99) 1 en fonction de la valeur de N.
c)
En utilisant MAPLE, déterminer à partir de quelle val eur de N le réel
SN (-0.99) constitue une val eur approchée de S (-0.99) avec une erreur inférieure à 10 -6 . Comment obtenir avec MAPLE cette valeur approchée de S (-0.99)?
Renouveler le calcul avec z = -0.999 et commenter les val eurs obtenues.
2 - Soit L n a11 z n une série entière complexe de rayon de convergence R = 1.
On désigne par f la somme de cette série entière et par g l'application définie
pour z E D(O, 1) \ {O} par g(z) = �(f(z) - ao) .
a)
Montrer que g est prolongeable en une application continue sur D(O, 1)
(que l' on désignera encore par g dans le reste de l' exercice).
b) Montrer que pour tout z E D(O, 1), on a
+oo
""' . [1)
(1 - z)g(z) =ao+ � f1 a n z n
n=O
où
c) En déduire que pour tout z E D(O, 1), on a :
+oo
f( )
- � _ z _ L
A 11 1
n
z - 1 + 1
u an Z ·
-z
-z n=O
d) En utilisant un raisonnement par récurrence, établir la formule d' EulerAbel à l' ordre p, où p EN* :
p-1
k
+oo
""' [kJ
z ·
zP ""' A !Pl
n
f (z) = 6 6,. ao (1 - z) k+l + (1 - z)P � u an z 't/z E D(O, 1)
'
IM
d'fi
• /\ (0)
/\ (1)
ou pour tout n E l'i on a e m : u an = a n , u an = an +l - an et
[k)
[k-1)
)k-1)
6,. a n = 6,. an +l - 6,. an pour tout entier k � 2.
3 - On suppose que a n = no: où a E lR \ Z pour n E N* et que ao = O.
a) Montrer que (n + l)o: =no:+ ano: - l + �a(a - 1) no: -2 + 0 + 00(no: -2 ).
b) En déduire que f1 11 1 an ,..., a no: - l puis que !11 2 1 an ,..., a(a - l)no: -2 •
+oo
+oo
c ) Comment interprétez-vous ces résultats? Quel est l' intérêt de la formule
d' Euler-Abel?
4 - a) Calculer le rayon de convergence de la série entière L n n z n et montrer
que sur le disque de convergence de la série on a L�:O nz n = (l � z) 2.
b) En utilisant l a formule d' Euler-Abel, en déduire la somme de l a série
L n n 2 Z n .