Séries entières
281
b) Montrer que la série entière Ln;;. l ( (�,��n ( � ) 2 n converge sur R On
note S sa somme.
c)
Montrer que : x 2 S"(x) + x S'(x) + x 2 S(x) = 2xJ�(x) pour tout x ER
d) Montrer que l'application To : x E lR.'.f_ � ln(x)Jo(x) - S(x) est une
sol ution de ( E).
e)
Montrer que J0 et T 0 sont deux solutions de ( E ) linéairement indépendantes de Jo. (On pourra considérer les limites en 0 de Jo et To.)
Une base de l'espace vectoriel de dimension 2 constitué des solutions de l'équation différentielle de Bessel d'indice 0 est donc { Jo, To}. Il est de coutume de
considérer la Fonction fonction de Neumann d'indice 0 définie sur IR.'.f_ par :
No(x) 2
2
-To (x) + -( 7 - ln(2))Jo(x)
7r
7r
2
2 +oo (-l) n a n ( x ) 2 n
; (ln(x/2) + 7 ) Jo(x) - ; � (n!) 2 2
où 1' désigne la constante d'Euler, comme second élément de base à la place
de T 0. Les solutions de l'équation différentielle de Bessel d'indice 0 sont alors
toutes les applications de la forme x E lR'.t- � >.Jo(x) + µNo(x) où À et µ
désignent deux réels.
3 - a) Pour p E N, on note Ip = f 0 " sin 2P (B) dB. En utilisant une intégration
par parties, montrer que Ip = (2p - l)Ip - l - (2p - l)Ip pour tout p E N*. En
.
(2p)!n
dédu i re que Ip = 2 2P (p!) 2•
b) Montrer que l a sene de fonctions Ln f n de terme général
2 n
fn : B E lR. � (-l) n (
xo
) ' sin 2 n (B) où x0 E lR.'.f- est fixé, converge uniformé2n .
ment sur lR. et que sa somme est: B E lR. � cos(xo sin(B)).
c) En déduire que pour tout x E IR.'.f_ on a Jo(x) = � J; cos(xsin(B)) dB.
Exercice 5.11 Formule d'EULER-ABEL
L'objet de cet exercice est d'établir la formule d'Euler-Abel et d'étudier deux
de ses usages possibles : l'un pour accélérer la convergence d'une série vers
sa somme
<37> .et l'autre pour calculer la somme des séries entières de la Forme
L n P(n)z n où P désigne un polynôme de C[X].
<37> Pour une utilisation en électromagnétisme de la formule d'Euler-Abel afin d'accélérer la
convergence d'une série vers sa somme, on pourra consulter l'article suivant : Hung-Mou
Lee, Electromagnetic Scattering of Tubular Cylindrical Structure-Double Series Formulation and Sorne Results, IEEE 'ITansactions on Antennas and Propogation, vol. 35,
n° 4, 1987.
281
b) Montrer que la série entière Ln;;. l ( (�,��n ( � ) 2 n converge sur R On
note S sa somme.
c)
Montrer que : x 2 S"(x) + x S'(x) + x 2 S(x) = 2xJ�(x) pour tout x ER
d) Montrer que l'application To : x E lR.'.f_ � ln(x)Jo(x) - S(x) est une
sol ution de ( E).
e)
Montrer que J0 et T 0 sont deux solutions de ( E ) linéairement indépendantes de Jo. (On pourra considérer les limites en 0 de Jo et To.)
Une base de l'espace vectoriel de dimension 2 constitué des solutions de l'équation différentielle de Bessel d'indice 0 est donc { Jo, To}. Il est de coutume de
considérer la Fonction fonction de Neumann d'indice 0 définie sur IR.'.f_ par :
No(x) 2
2
-To (x) + -( 7 - ln(2))Jo(x)
7r
7r
2
2 +oo (-l) n a n ( x ) 2 n
; (ln(x/2) + 7 ) Jo(x) - ; � (n!) 2 2
où 1' désigne la constante d'Euler, comme second élément de base à la place
de T 0. Les solutions de l'équation différentielle de Bessel d'indice 0 sont alors
toutes les applications de la forme x E lR'.t- � >.Jo(x) + µNo(x) où À et µ
désignent deux réels.
3 - a) Pour p E N, on note Ip = f 0 " sin 2P (B) dB. En utilisant une intégration
par parties, montrer que Ip = (2p - l)Ip - l - (2p - l)Ip pour tout p E N*. En
.
(2p)!n
dédu i re que Ip = 2 2P (p!) 2•
b) Montrer que l a sene de fonctions Ln f n de terme général
2 n
fn : B E lR. � (-l) n (
xo
) ' sin 2 n (B) où x0 E lR.'.f- est fixé, converge uniformé2n .
ment sur lR. et que sa somme est: B E lR. � cos(xo sin(B)).
c) En déduire que pour tout x E IR.'.f_ on a Jo(x) = � J; cos(xsin(B)) dB.
Exercice 5.11 Formule d'EULER-ABEL
L'objet de cet exercice est d'établir la formule d'Euler-Abel et d'étudier deux
de ses usages possibles : l'un pour accélérer la convergence d'une série vers
sa somme
<37> .et l'autre pour calculer la somme des séries entières de la Forme
L n P(n)z n où P désigne un polynôme de C[X].
<37> Pour une utilisation en électromagnétisme de la formule d'Euler-Abel afin d'accélérer la
convergence d'une série vers sa somme, on pourra consulter l'article suivant : Hung-Mou
Lee, Electromagnetic Scattering of Tubular Cylindrical Structure-Double Series Formulation and Sorne Results, IEEE 'ITansactions on Antennas and Propogation, vol. 35,
n° 4, 1987.