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Exercices de synthèse
satisfaisant à la condition initiale y(O) = 1. On en déduit que f sera développable en série entière si et seulement si il existe une série entière E n anx n de
rayon de convergence R dont la somme est solution l'équation différentielle (15)
sur ] - R, R[ et qui satisfait la condition initiale.
On établit par la méthode exposée dans la section 5.4.1 que les coefficients
(an)n de la série entière doivent satisfaire les équations
(n + l )an +l + (n - a)an = 0 \ln EN*
et a0 = 1. On obtient par récurrence l'expression suivante pour les coefficients :
a x (a - 1) x · · · x (a - n + 1)
an =
n!
\ln EN* .
La règle de D'Alembert indique que le rayon de convergence de la série entière
E n anx n vaut 1. On en conclut que :
\lx E] - 1, l [
Exercice 5.9
� a x (a - 1) x · · · x (a - n + 1)
( l + x)°'= l + �
1
x n .
n= l
n.
1 - Montrer que l'application f : x E] - 1, 1[ � arcsin(x) 2 est solution de
l'équation différentielle ( E ) : (1 - x 2 )y"(x) - xy'(x) = 2.
2 - Rechercher les solutions de ( E ) développables en série entière dans un
voisinage de l'origine et en déduire le développement en série entière de f.
5.5 Exercices de synthèse
Exercice 5.10 Fonction de BESSEL d'indice 0
Considérons l'équation différentielle de BESSEL d'indice 0 :
( E ) x 2 y"(x) + xy' (x) + x 2 y(x) = 0 \lx E lR.�.
1 - Montrer que ( E ) admet pour solutions développables en série entière dans
un voisinage de l'origine, les fonctions >.. J 0 où >.. E lR. et
.
*
+
oo ( - 1 r (X) 2 n
J o . x E lR. + t---+ � (n!)2 2
est la fonction de BESSEL d'indice O.
2 - a) Pour n E N*, on note O'.n = E� =l t; montrer que O'.n
+
":x, ln(n) .