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Définitions et premières propriétés
Si l'on considère une suite numérique (un)n, il est assez naturel, à l'instar de
ce qui est fait avec une suite géométrique, de sommer les n premiers termes de
cette suite et d'étudier la nouvelle suite (Un)n ainsi construite qui est définie par
'tin EN
n
Un = 2:=uk.
k=O
qui est appelée suite des sommes partielles associée à la suite (un)n ·
(1)
DÉFINITION 1.1 Soit (un)n une suite numérique ; on appelle série numérique de terme général Un et l'on note E n Un, le couple ((un)n, (Un)n) d'éléments de S(OC) x S(OC) où (Un)n est la suite des sommes partielles associée à
la suite (un)n définie par la relation (1).
Remarques
1. A une suite numérique (un)n on peut associer sa suite des sommes partielles
(Un)n et par conséquent la série E n Un. Inversement, à une suite numérique
(Sn)n on peut associer une série E n Un dont elle est la suite des sommes partielles de la manière suivante :
uo = So et 'tin E N*
2. Deux séries numériques E n Un et E n Vn sont égales si pour tout n E N
on a Un = Vn ·
<>
Structure d'espace vectoriel
On définit sur l'ensemble E(OC) des séries numériques sur OC une loi de composition interne + de la manière suivante : si E n Un et E n Vn sont deux séries
numériques alors E n Un+ E n Vn est la série numérique de terme général Un +vn.
On peut également munir E(OC) d'une loi de composition externe · de la manière suivante : pour toute série numérique E n Un et pour tout scalaire À E OC
la série À · E n Un est la série de terme général Àun.
L'ensemble des séries numériques E(OC) muni de ces deux lois · + et · est un
•
1( 2 )
1V
espace vectone
sur 1&.
DÉFINITION 1.2 (Nature d'une série)
)( On dit que la série E n Un converge dans OC si la suite des sommes partielles
(Un)n converge dans ][(.
)(Siµ E OC désigne la limite de la suite (Un)n, on dit queµ est la somme de
la série E n Un et on note µ = E!:O Un .
)(Si la suite des sommes partielles (Un)n diverge dans OC, on dit que la série
E n Un diverge.
<2> Voir le chapitre 8 du Cours de première année.