Séries numériques
3
Remarque Si la suite ( un)n n'est définie qu' à partir d'un rang no E N*, on
peut pr ol on ger cette suite en une suite (ün)n définie sur N en po sant
- Ün = Un po ur to ut n E N avec n ;;::: no ;
- Ün = 0 po ur to ut n E N avec n < n0 .
La série I: n Ün sera no tée I: n � no Un.
Inverseme nt , à la série I: n Un et à l'entier no n nul no , on peut ass oc ier la série
I: n � no Un qui est qualifiée de série déduite de I: n Un par tr on cature .
Da ns ce chapitre et dans les chapitres suivants, les pr op riétés co ncernant les
séries ser on t énoncées en supp os ant que no = 0 mais on adaptera sans difficulté
l'én on cé de ces pr op riétés dans le cas où n0 E N*.
<>
Exercice 1.1 Procédé télescopique
So ient (un)n une suite numérique et I: n Vn la sene de terme général
Vn = Un + i - Un. Mo ntrer que la série I: n Vn co nverge si et seulement si
la suite (un)n co nverge . Qu elle relati on a-t- on entre la limite de la suite
( un)n et la so mme de la série I: n Vn ?
Les exemples qui suivent vo nt fournir les principales techniques d'étude d'une
série numérique (sa nature et le calcul de sa so mme) basées sur l'étude de la
suite des so mmes partielles . Ces exemples no us fournir ont également des séries
de ré f érence po ur illustrer les pr op riétés des séries nu mériques qui so nt l' objet
de ce chapitre .
Exemples
1. La série gé om étrique de rais on r (r E lK) et de premier terme a (a E lK) est
la série de terme général Un = a r n . Po ur to ut n E N, on a
<3>
Un = L U k = a 1 - r
n
{ 1 - r n +l
k=O
(n + 1) a
si r:f:l
si r = 1
Si lrl < 1, la suite (Un)n co nverge vers a(l - r) - 1 et si lrl ;;::: 1 la suite (Un)n
diverge . On a do nc la pr op riété suiv ante .
La série gé om étrique de rais on r et de premier terme a co nverge si et seule
+oo
ment si lrl < 1; elle a po ur so mme L ar n = a(l - r) - 1 .
n =O
Reven ons sur le parad oxe d'Achille et la tortue ; supp os on s qu' Achille co urt
à la vitesse de 10 m/ s, que la to rtue se déplace à 0, lm /s et qu' Achille ait
laissé 100 m d'avance à la to rtue . Achille met 10 s à parc ou rir les 100 m que la
to rtue avait d'avance; la to rtue a parc ou ru pendant ce temps 1 m qu' Achille
<3> Voir le Cours de première année, proposition 5.21 p. 195.
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Remarque Si la suite ( un)n n'est définie qu' à partir d'un rang no E N*, on
peut pr ol on ger cette suite en une suite (ün)n définie sur N en po sant
- Ün = Un po ur to ut n E N avec n ;;::: no ;
- Ün = 0 po ur to ut n E N avec n < n0 .
La série I: n Ün sera no tée I: n � no Un.
Inverseme nt , à la série I: n Un et à l'entier no n nul no , on peut ass oc ier la série
I: n � no Un qui est qualifiée de série déduite de I: n Un par tr on cature .
Da ns ce chapitre et dans les chapitres suivants, les pr op riétés co ncernant les
séries ser on t énoncées en supp os ant que no = 0 mais on adaptera sans difficulté
l'én on cé de ces pr op riétés dans le cas où n0 E N*.
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Exercice 1.1 Procédé télescopique
So ient (un)n une suite numérique et I: n Vn la sene de terme général
Vn = Un + i - Un. Mo ntrer que la série I: n Vn co nverge si et seulement si
la suite (un)n co nverge . Qu elle relati on a-t- on entre la limite de la suite
( un)n et la so mme de la série I: n Vn ?
Les exemples qui suivent vo nt fournir les principales techniques d'étude d'une
série numérique (sa nature et le calcul de sa so mme) basées sur l'étude de la
suite des so mmes partielles . Ces exemples no us fournir ont également des séries
de ré f érence po ur illustrer les pr op riétés des séries nu mériques qui so nt l' objet
de ce chapitre .
Exemples
1. La série gé om étrique de rais on r (r E lK) et de premier terme a (a E lK) est
la série de terme général Un = a r n . Po ur to ut n E N, on a
<3>
Un = L U k = a 1 - r
n
{ 1 - r n +l
k=O
(n + 1) a
si r:f:l
si r = 1
Si lrl < 1, la suite (Un)n co nverge vers a(l - r) - 1 et si lrl ;;::: 1 la suite (Un)n
diverge . On a do nc la pr op riété suiv ante .
La série gé om étrique de rais on r et de premier terme a co nverge si et seule
+oo
ment si lrl < 1; elle a po ur so mme L ar n = a(l - r) - 1 .
n =O
Reven ons sur le parad oxe d'Achille et la tortue ; supp os on s qu' Achille co urt
à la vitesse de 10 m/ s, que la to rtue se déplace à 0, lm /s et qu' Achille ait
laissé 100 m d'avance à la to rtue . Achille met 10 s à parc ou rir les 100 m que la
to rtue avait d'avance; la to rtue a parc ou ru pendant ce temps 1 m qu' Achille
<3> Voir le Cours de première année, proposition 5.21 p. 195.