CHAPITRE 1
Séries numériques
Les séries numériques, considérées en tant que limites de progressions géométriques, sont apparues très tôt, dès Aristote, dans l'histoire des mathématiques mais au 18-ième siècle la manipulation des séries numériques, en particulier leurs propriétés de convergence, faisait encore l'objet de nombreux débats
et travaux . L'un des célèbres paradoxes de Zénon d'Élée, philosophe grec du
5e siècle avant J . - C. , connu sous le nom d'Achille et la tortue, a pu être résolu
en ayant recours aux séries numériques par le mathématicien belge Grégoire de
Saint-Vincent au 17e siècle . Le paradoxe d'Achille et la tortue est le suivant : un
jour, le héros grec Achille dispute une course à pied avec une tortue à laquelle
il laisse un certaine avance . Zénon d'Élée met en avant le fait que le temps
qu' Achille parcourt la distance qu'il a laissé d'avance à la tortue, celle-ci s'est
déplacée . Le temps qu' Achille parcourt cette nouvelle distance qui le sépare de
la tortue, celle-ci a encore un petit peu avancé, Achille doit donc encore couvrir
cette distance avant de rattraper la tortue . Mais une fois encore, le temps qu'il
parcourt cette distance, la tortue a à nouveau avancé . En définitive, Zénon
affirme qu' Achille ne pourra jamais rattraper la tortue ... Ce paradoxe est lié
au fait qu'intuitivement on peut penser qu'en sommant un nombre infini de
termes positi f s, ici le temps mis par Achille pour parcourir à chaque étape la
distance le séparant de la tortue, on obtient nécessairement un nombre infini .
Ce qui n'est pas le cas .
Nous allons dans ce chapitre introduire un certain nombre de notions liées
aux séries numériques, en insistant sur les critères permettant d'établir qu'une
série possède une somme finie et sur les méthodes permettant de calculer cette
somme .
1.1 Définitions et premières propriétés
1.1.1 Définitions
On désigne par OC le corps lR ou le corps C et on note S(OC) l'espace vectoriel
sur lK des suites numériques
<1> à valeurs dans OC (suites réelles si OC = lR ou
suites complexes si ][( = q.
(l) Voir le chap. 5 du Cours de première année.
Séries numériques
Les séries numériques, considérées en tant que limites de progressions géométriques, sont apparues très tôt, dès Aristote, dans l'histoire des mathématiques mais au 18-ième siècle la manipulation des séries numériques, en particulier leurs propriétés de convergence, faisait encore l'objet de nombreux débats
et travaux . L'un des célèbres paradoxes de Zénon d'Élée, philosophe grec du
5e siècle avant J . - C. , connu sous le nom d'Achille et la tortue, a pu être résolu
en ayant recours aux séries numériques par le mathématicien belge Grégoire de
Saint-Vincent au 17e siècle . Le paradoxe d'Achille et la tortue est le suivant : un
jour, le héros grec Achille dispute une course à pied avec une tortue à laquelle
il laisse un certaine avance . Zénon d'Élée met en avant le fait que le temps
qu' Achille parcourt la distance qu'il a laissé d'avance à la tortue, celle-ci s'est
déplacée . Le temps qu' Achille parcourt cette nouvelle distance qui le sépare de
la tortue, celle-ci a encore un petit peu avancé, Achille doit donc encore couvrir
cette distance avant de rattraper la tortue . Mais une fois encore, le temps qu'il
parcourt cette distance, la tortue a à nouveau avancé . En définitive, Zénon
affirme qu' Achille ne pourra jamais rattraper la tortue ... Ce paradoxe est lié
au fait qu'intuitivement on peut penser qu'en sommant un nombre infini de
termes positi f s, ici le temps mis par Achille pour parcourir à chaque étape la
distance le séparant de la tortue, on obtient nécessairement un nombre infini .
Ce qui n'est pas le cas .
Nous allons dans ce chapitre introduire un certain nombre de notions liées
aux séries numériques, en insistant sur les critères permettant d'établir qu'une
série possède une somme finie et sur les méthodes permettant de calculer cette
somme .
1.1 Définitions et premières propriétés
1.1.1 Définitions
On désigne par OC le corps lR ou le corps C et on note S(OC) l'espace vectoriel
sur lK des suites numériques
<1> à valeurs dans OC (suites réelles si OC = lR ou
suites complexes si ][( = q.
(l) Voir le chap. 5 du Cours de première année.