Fonctions complexes de la variable complexe
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Même si la définition 4.13 est une généralisation naturelle de la notion de
dérivabilité introduite dans le cas des fonctions réelles de la variable réelle, la
notion de dérivabilité pour les fonctions complexes de la variable complexe
est assez différente de celle des fonctions réelles de la variable réelle. Pour
en avoir une illustration, il suffit de considérer l'application z E C - l zl qui
n'est holomorphe en aucun z E C alors que l'application x E lR - lxl est
dérivable en tout x E JR*.
Dans le but de comprendre les raisons du comportement très différent vis-à-vis
de la dérivabilité de ces deux applications, nous allons introduire la notion de
différentielle pour une fonction de la variable complexe.
Différentielle d'une fonction de la variable complexe
Une application L de C dans C est dite C-linéaire si pour tout ( z 1 , z 2 ) E C 2 et
pour tout (À, µ) E C 2 on a
On montre qu'une application L de C dans C qui est C-linéaire est de la forme :
L( z)=/Jz
avec (3 E C. On définit aussi la notion d'application complexe JR-linéaire : une
application L de C dans C est JR-linéaire si pour tout ( z i , z 2 ) E C 2 et pour tout
(>., µ) E JR 2 , on a
On ne confondra pas cette définition avec celle d'application C-linéaire. Il est
facile de vérifier que toute application C-linéaire est IR-linéaire mais que la
réciproque est fausse.
La bijection z E C f--+ (Re( z), Im( z)) E JR 2 permet d'identifier C à JR 2 et
une fonction de C dans C peut être vue comme un fonction de IR 2 dans IR 2 .
Une application IR-linéaire de C dans C est alors identifiable à une application
linéaire de IR 2 dans IR 2 de la manière suivante :
L : (x, y) E IR 2 f--- -+ (0:1x + 0: 2 y, 0:3x + a4y) .
Ainsi, une application L de C dans C qui est IR-linéaire est de la forme :
où (0:1 , 0: 2 , 0:3, 0:4) E IR 4 .
Cette distinction entre applications C-linéaires et JR-linéaires qui à première lecture peut paraître assez peu importante est pourtant essentielle dans le cadre
de la théorie des fonctions holomorphes. Elle permet d'expliquer pourquoi les
fonctions holomorphes possèdent des propriétés très particulières que n'ont pas
les fonctions de la variable réelle. Citons à titre d'exemple le fait que si une
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Même si la définition 4.13 est une généralisation naturelle de la notion de
dérivabilité introduite dans le cas des fonctions réelles de la variable réelle, la
notion de dérivabilité pour les fonctions complexes de la variable complexe
est assez différente de celle des fonctions réelles de la variable réelle. Pour
en avoir une illustration, il suffit de considérer l'application z E C - l zl qui
n'est holomorphe en aucun z E C alors que l'application x E lR - lxl est
dérivable en tout x E JR*.
Dans le but de comprendre les raisons du comportement très différent vis-à-vis
de la dérivabilité de ces deux applications, nous allons introduire la notion de
différentielle pour une fonction de la variable complexe.
Différentielle d'une fonction de la variable complexe
Une application L de C dans C est dite C-linéaire si pour tout ( z 1 , z 2 ) E C 2 et
pour tout (À, µ) E C 2 on a
On montre qu'une application L de C dans C qui est C-linéaire est de la forme :
L( z)=/Jz
avec (3 E C. On définit aussi la notion d'application complexe JR-linéaire : une
application L de C dans C est JR-linéaire si pour tout ( z i , z 2 ) E C 2 et pour tout
(>., µ) E JR 2 , on a
On ne confondra pas cette définition avec celle d'application C-linéaire. Il est
facile de vérifier que toute application C-linéaire est IR-linéaire mais que la
réciproque est fausse.
La bijection z E C f--+ (Re( z), Im( z)) E JR 2 permet d'identifier C à JR 2 et
une fonction de C dans C peut être vue comme un fonction de IR 2 dans IR 2 .
Une application IR-linéaire de C dans C est alors identifiable à une application
linéaire de IR 2 dans IR 2 de la manière suivante :
L : (x, y) E IR 2 f--- -+ (0:1x + 0: 2 y, 0:3x + a4y) .
Ainsi, une application L de C dans C qui est IR-linéaire est de la forme :
où (0:1 , 0: 2 , 0:3, 0:4) E IR 4 .
Cette distinction entre applications C-linéaires et JR-linéaires qui à première lecture peut paraître assez peu importante est pourtant essentielle dans le cadre
de la théorie des fonctions holomorphes. Elle permet d'expliquer pourquoi les
fonctions holomorphes possèdent des propriétés très particulières que n'ont pas
les fonctions de la variable réelle. Citons à titre d'exemple le fait que si une